В прямоугольном треугольнике ABC, C=90°, угол B=30° АВ = 11 см знайти прилежащий катет.​

Отрезки касательных, проведенных к окружности равны.
Пусть дан тр-к АВС, т. касания стороны ВС с окружностью т.Д;
стороны АС - т.Е; стороны АВ - т.К; по условию АС=29 см; ВД=1 см; 
ДС=24 см;
рассм. т.С, из нее проведены касательные к окружности СД и СЕ, они равны 24 см; АС=29 см; значит АЕ=29-24=5 см;
рассм. касательные, проведенные к окружности из т.А - АЕ=АК=5 см;
рассм. касательные, проведенные из т.В -  ВК=ВД=1см;
отсюда АВ=АК+ВК=5+1=6 см; СВ=24+1=25 см; и АС=29 см; значит
Р=6+25+29=60см - это ответ.

1. На прямой m отложим отрезок АВ = МР.

2. Построим ∠А = ∠М. Для этого:

построим окружность произвольного радиуса с центром в точке М; точки пересечения этой окружности со сторонами угла М обозначим N и Т;

построим окружность с тем же радиусом с центром в точке А; Е - точка пересечения этой окружности с отрезком АВ;проведем дугу с центром в точке Е и радиусом, равным NT; F - точка пересечения дуги с окружностью;проведем луч AF.

3. На луче AF дважды последовательно отложим отрезок, равный МК, получим точку С.

4. Соединим точки В и С.

ΔАВС - искомый.

Задача может не иметь решения, если в данном треугольнике сторона МК большая и не выполняется неравенство:

2MK < MP + KP.