Два угла четырехугольника, возле которого можно описать окружность, равны 45° и 120°. Найдите остальные внутренние углы четырёхугольника

Обозначим :

Н - высота пирамиды

h - высота основания пирамиды

r -радиус окружности, вписанной в основание

а - сторона основания

Решение

а) высота пирамиды Н = L· sinβ

б) проекция апофемы на плоскость основания -это радиус вписанной окружности r = L · cosβ.

в) сторона основания пирамиды а = 2r/tg 30° = 2L· cosβ/(1/√3) =

 = 2√3 · L·cosβ

г) площадь основания пирамиды Sосн = 0.5h·a, где h = a·cos30°.

Тогда Sосн = 0.25a²·√3 = 0.25 · √3 · (2√3 · L·cosβ)² = 3√3L² · cos²β

д) Площадь боковой поверхности пирамиды

Sбок = 3 · 0,5 · L · a = 1.5L · 2√3 · L·cosβ = 3√3 · L² · cosβ

e) площадь полной поверхности пирамиды:

Sполн = Sосн + Sбок = 3√3 · L² · cos²β + 3√3 · L² · cosβ =

= 3√3 · L² · cosβ · (cosβ + 1)

Подробнее - на -

разделим решение на 2 части: анализ и нахождение величин  

1) анализ  

обозначим боковые стороны и меньшее основание за x  

длина той части высоты, которая ближе к меньшему основанию - м (далее - во)  

длина той части высоты, которая ближе к большему основанию - б (далее - он)  

пусть трапеция - abcd. bc - меньшее основание, аb и cd - боковые стороны.  

проведём высоту bh, диагональ - ас. точка пересечения - о  

треугольники овс и она - подобные (оба прямоугольные, есть вертикальные углы аон=вос)  

тогда ан = вс* (он/во) = х* (б/м)  

площадь трапеции: s = bh*(bc+ad)/2 = bh*(bc+ah) = 18*x*(1+б/м)  

итак, осталось найти х.  

поясню, почему требуется обозначения б и м. есть 2 решения (в зависимости от того, какие длины мы присвоим отрезкам он и во) . поэтому будут 2 значения б/м:  

б/м = 10/8 или б/м = 8/10  

 

2) нахождение величин  

обозначим угол всн = t (дальше легче писать)  

cos (t) = ah/ab = (x*(б/м)) /x = б/м.  

sin (t) = вн/ав = 18/х  

cos^2(t) + sin^2(t) = 1  

(б/м) ^2 + 324/x^2 = 1  

324/x^2 = 1 - (б/м) ^2  

так как 324/x^2 > 0, то приходим, что б/м = 8/10. (т. е. второго решения больше нет) .  

итого: 324/x^2 = 1 - (8/10)^2 = 0,36  

x = 30  

s = 18*x*(1+б/м) = 18*30*(1+ 8/10) = 972