Скільки різних перпендикулярів можна провести через дану точку до даної прямої? а з даної точки до даної прямої?

через данную точку к данной прямой можно провести 1 перпендикуляр

Авс - правильный треугольник со стороной  а. ао - радиус описанной окружности. r=ао=а√3/3.   ∠аов=∠вос=аос=360/3=120°. так как точка м - середина дуги ав, то  ∠аом=∠аов/2=60°. соответственно  ∠аоn=60°, а  ∠mon=120°. большая дуга mn равна 360-∠mon=360-120=240°. вписанный угол  man опирается на дугу mn и равен её половине.  ∠man=∩mn/2=240/2=120°. треугольники amn и omn равны, т.к. оба равнобедренные, у них общее основание и углы при вершинах равны, значит углы при основании тоже равны. соответственно  δomn=δobc, значит mn=bc=a. в четырёхугольнике amon стороны равны, значит он ромб, значит ар=ро. ар=r/2=а√3/6. в правильном  треугольнике аен ар - высота. для правильного тр-ка h=a√3/2 (здесь а другая,  только для формулы)  ⇒ а=2h/√3. ен=2·ар/√3=2·а√3/(6√3)=а/3 (здесь а - сторона тр-ка авс. а=ав). mn=a, ен  =а/3. исходя из симметрии построенного чертежа,  δamp=δanp, значит ме=nн. ме=nн=(mn-ен)/2=(а-а/3)/2=а/3. ме=ен=nн=а/3. доказано.

дано: тр. аbc=тр. def.ac=fd, cb=ef

по условию теоремы две пары отрезков этих треугольников равны между собой (ас = fd и св = ef). углы между отрезками также равны (т.е. ∠асв = ∠efd).

доказать, что треугольник abc равен треугольнику def.

доказательство : поскольку имеется равенство углов (∠асв = ∠efd), треугольники можно наложить друг на друга, так чтобы вершина с совпадала с вершиной f. при этом отрезки са и св наложатся на отрезки fe и fd. а поскольку отрезки двух треугольников равны между собой (ас = fd и св = ef по условию), то отрезок ав также совпадёт со стороной ed. это в свою очередь даст совмещение вершин а и d, в и е. следовательно, треугольники полностью совместятся, а значит, они равны.