В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 7см, а высота призмы равна 12см. Вычислите площадь полной поверхности призмы

Обозначения:

a, b - стороны параллелограмма

d1, d2 -диагонали параллелограмма

S=a*b*sin60° = a*b*(√3/2)

√3*a*b/2=210√3

a*b=420

P=2(a+b)

2(a+b)=88

a+b=44

Система:

a*b=420

a+b=44

решаем систему:

b=44-a

a²(44-a+=420

a²-44a+420=0 D=1936-1680=256 √D=16

a1=(44+16)/2=30 a2=(44-16)/2=14

b1=14 b2=30

Cтороны параллелограмма 30 и 14

Один из углов =60, другой = 180-60=120

По теореме косинусов:

(d1)²=30²+14²-2*30*14*cos60=900+196-840*(1/2)=676

d1=26

(d2)²=30²+14²-2*30*14*cos120=900+196+840)*(1/2)=1516

d2=√1516=√(4*379)=2√379 ответ: 26; 2√379

Радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

Отсюда находим длины сторон треугольника.

a(BC) = 2RsinA = 2*6*sin54° = 12*0,809016994 = 9,708203932.

b(AC) = 2RsinB = 2*6*sin66° = 12*0,913545458 = 10,96254549 .

c(AB) = 2RsinC = 2*6*sin 60° = 12*0,866025404 = 10,39230485 .

Здесь угол С = 180°-54°-66° = 60°.

Находим длину биссектрисы АК = (2bc*cos(A/2))/(b + c) = 9,506871723 .

Биссектриса делит сторону ВС точкой К на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.

ВК = (ас)/(с -в) = 4,724482409.

KC = BC - BK = 4,983721523 .

Теперь у треугольника АВК известны все стороны.

Площадь его определим по формуле Герона.

S(ABK) = √(p(p-a)(p-b)(p-k)) = 22,42674559 кв.ед.

Здесь a = BK = 4,724482409.

b = AK = 9,506871723 .

k = AB = 10,39230485 .

р = (a+b+k)/2 = 12,3118295 ..

Тогда радиус описанной около треугольника АВК окружности равен:

R = (abk)/(4S) = 5,203283414.