Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем сторонам

∆ АDК и АDС прямоугольные и равны по катету ( DС=DК -дано)  и общей  гипотенузе АD. ⇒

АК=АС и углы САD=КAD,⇒

 АД - биссектриса угла ВАС. 

 Примем коэффициент отношения АК:КВ равным а. Тогда АВ=9а+8а=17а., АС=АК=8а

По т.Пифагора ВС=√(АВ²-АС²)=√225a²=15a

Периметр АВС=17а+15а+8а=40а 

40а=80

а=2

СВ=30, АС=16, АВ=34 . 

Биссектриса  угла  треугольника  делит  противолежащую углу сторону  на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

СД:ДВ=АС:АВ

Примем CD=х

х:(30-х)=16:34

34х=480-16х

50х=480

х=9,6  (ед. длины)

1) △BAO, △BCO равнобедренные (AE, EC являются одновременно медианами и высотами) => BA=OA, BC=OC
OA=OB=OC (радиусы окружности)
OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60)
∠ABC=∠ABO+∠OBC=120
∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180)
∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)

2) BH=9; AC=24

AB=BC
AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой)
AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15

Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4
r= OH = BH*4/9 =4

R= AB*BC*AC/2*S = AB*BC/2*BH = 15^2/2*9 =12,5

Проверка:
r*R= AB*BC*AC/2(AB+BC+AC)
15*15*24/2(15+15+24) = 50 = 4*12,5