Три окружности одинакового радиуса R касаются между собой. между ними вписана окружность радиусом r. нужна формула зависимости r от заданнойR.

1. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ ребро основания AB= 8√3, а ребро AA₁=7.
Найдите:
а) Площадь повернхности призмы
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C

Площадь призмы состоит из суммы площадей двух оснований (правильных треугольников) и площади боковой поверхности.
Все стороны оснований равны, все боковые ребра равны между собой.
S полн=2 S АВС+ 3 S АА₁С₁С
S △ АВС=(а²√3):4
S △АВС=(АС²√3):4=( 8√3)²√3):4=48√3 см²
2*S △ АВС=96√3 см²
S АА₁С₁С,=АС*СС₁=8√3*7=56√3
3*S АА₁С₁С=168 √3
S полн=168√3+96√3=264 √3см²
--------------------
б) tg угла между плоскостями BCA₁ и BB₁C - это тангенс угла А₁МН, образованного АН и высотой А₁М треугольника ВА₁С

Тангенс угла - отношение катета, противолежащего углу, к катету, прилежащему к этому углу.

 tg НМА1=НА1:МН
А₁Н найдем из треугольника А₁В1С1:А1Н=А1В1* sin (60)=(8√3* √3):2
А1Н=12 см
tg угла А₁МН=12:7 ≈ 1,714
-----------------------------------------------------------------------------
2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S  точка О- центроснования,
SO=27, SC=45.
Найдите площадь поверхности пирамиды.   Основание правильной четырехугольной пирамиды - квадрат.
Площадь полной поверхности пирамиды - это сумма площади основания и ее четырех граней.
Площадь основания АВСD=АВ*СВ=AB²
AB=CO√2
CO=√(SC²-SO²)=√(45²-27²)= √(2025-729)=36
СB=CO√2=36√2
SABCD=( 36√2)²=2592
S ᐃ SBA=SH*AB:2
OH=CB:2=18√2
SH=√(SO²+OH²)
OH=CB:2=18√2
SН=√(27²+(18√2)²)=√(729+648)=√1377=9 √17
S ᐃ SBA=9 √17*18√2=162 √34
S бок=4*162 √34=648 √34
Sполн=648 √34+2592= 648(√34+4)

1.   так как девочка и на запад и на юг, то в итоге она оказалась на расстоянии 960-720=240 метров от своего дома на востоке. и соответственно удалилась на север на 180м. по теореме пифагора 240^{2} + 180^{2} = \sqrt{90000} = 300м на северо-востоке
2.    Аналогично 480-200=280м на востоке от дома. север 960. 280 ^{2} + 960 ^{2} =  \sqrt{1000000}= 1000м  (северо-восток)

3.    Девочка передвижется только в направление севера иак как 960-960=0 . Итак девочка окается на расстоянии 420 м от дома в северном направлении.

 

 4.   Тоже самое передвижение совершается только на север так как 680-680=0. Итак девочка окажется на расстоянии 700 м от дома в северном направлении.

5.    720-580=140м на восток. На север 480 м . По теореме пифагора  140^{2} + 480^{2} =  \sqrt{250000}  =  500м на северо-востоке