С циркуля и линейки постройте равнобедренный треугольник по основанию a и биссектрисе b, проведённой к основанию. Screenshot_2.png Решение проведите в 4 этапа: Этап 1: используя свойства равнобедренного треугольника, проведите анализ задачи. Определите, какие построения вам понадобятся. Этап 2: выполните построение. Этап 3: докажите, что полученный треугольник – равнобедренный, с длиной основания a и длиной биссектрисы b. Этап 4: исследуйте, сколько решений имеет задача. Всегда ли она будет иметь решения при различных значениях a и b?

А) у прямоугольных треугольников AHB1 и AA1C есть общий угол A1AC; значит равны и вторые углы. (AA1 - третья высота)
б) если построить на AH окружность, как на диаметре, то точки C1 и B1 попадут на неё из за того, что углы AC1H и AB1H прямые. Поэтому AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1;
Отсюда по теореме синусов B1C1 = AH*sin(∠BAC) = 21/2;
Однако :) стороны треугольника AB1C1 можно выразить через стороны треугольника ABC так
AB1 = AB*cos(∠BAC); AC1 = AC*cos(∠BAC);
поскольку ∠BAC общий, треугольники подобны с коэффициентом подобия cos(∠BAC); то есть BC*cos(∠BAC) = B1C1 = AH*sin(∠BAC);
BC = AH*tg(∠BAC) = 21/√3 = 7√3;

Окружность (x-6)^2 + (y-9)^2 = 225 имеет центр Q(6, 9) и радиус R = 15.
Окружность с центром P(-2; 3) и радиусом r задается уравнением
(x+2)^2 + (y-3)^2 = r^2
Если эти две окружности касаются друг друга в 1 точке, то система
имеет только одно решение.
{ (x-6)^2 + (y-9)^2 = 225
{ (x+2)^2 + (y-3)^2 = r^2
Раскроем скобки
{ x^2 - 12x + 36 + y^2 - 18y + 81 = 225
{ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = r^2
Упростим
{ x^2 - 12x + y^2 - 18y = 225 - 36 - 81 = 108
{ x^2 + 4x + y^2 - 6y = r^2 - 4 - 9 = r^2 - 13 
Вычтем из 2 уравнения 1 уравнение
4x - 6y + 12x + 18y = r^2 - 13 - 108
16x + 12y = r^2 - 121 = (r - 11)(r + 11)
Очевидно, максимальный радиус равен 11