. Центр окружности, описанной около треугольника , лежит на стороне . Радиус окружности равен 15 см. Найдите АС, если ВС=18 см

Формула площади треугольника 

Ѕ=а•h/2

а=12 по условию. Высоту нужно найти. 

Опустим высоту ВН треугольника АВС. В равностороннем треугольнике высота еще медиана и биссектриса ⇒

АН=12:2=6,

∠АВН=30°

∆ АВН - прямоугольный. 

Проведем его высоту НК. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°⇒ 

∠КНА=90°- 60°=30°

Катет АК противолежит углу 30° и равен АН:2= 6:2=3

Тогда КВ=12-3=9

Треугольники АВН и НВК подобны по равному острому углу 30°. 

Из подобия следует ВК:КН=КН:АК ⇒

КН²=АК*КВ=3°9=27 ⇒

КН=3√3

Гипотенуза ВН треугольника КВН=2•КН=6√3. 

S (ABC)=BH•AC/2=(6√3)•12/2=36√3= ≈62,354 ед. площади.

На рисунке обозначены:

ABC - Основание пирамиды

OS - Высота

KS - Апофема

OK - радиус окружности, вписанной в основание

AO - радиус окружности, описанной вокруг основания правильной треугольной пирамиды

SKO - двугранный угол между основанием и гранью пирамиды (в правильной пирамиде они равны)

Важно. В правильной треугольной пирамиде длина ребра (на рисунке AS, BS, CS ) может быть не равна длине стороны основания (на рисунке AB, AC, BC). Если длина ребра правильной треугольной пирамиды равна длине стороны основания, то такая пирамида называется тетраэдром (см. ниже).

Свойства правильной треугольной пирамиды:

боковые ребра правильной пирамиды равны

все боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками

в правильную треугольную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу

если центры вписанной и описанной вокруг правильной треугольной пирамиды, сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π (180 градусов) , а каждый из них соответственно равен π / 3 (пи делить на 3 или 60 градусов ).

площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

вершина пирамиды проецируется на основание в центр правильного равностороннего треугольника,, который является центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан