На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между прямой AC1 и плоскостью ABC.

ответ: Катети дорівнюють 24 і 10 см.

Объяснение:

Оскільки r (радіус вписаного кола) прямокутного трикутника обчислюється за формулою r=(a+b-c) /2, де a і b - катети, с - гіпотенуза, томи можемо отримати суму катетів (a+b) :

(a+b-c) /2=4 |2 (|2 означає, що ми множимо обидві частини рівняння на 2)

a+b-c=8

a+b=8+c=8+26=34 (з умови)

Також за теоремою Піфагора:

a^2+b^2=c^2 (^ це степінь)

Отримуємо систему рівнянь:

{a^2+b^2=26^2=676

{a+b=34

Розв'язуємо систему методом підстановки:

{a^2+b^2=26^2=676

{a=34-b

(34-b)^2+b^2=676

34^2-2*34*b+b^2+b^2=676

2×b^2-68b+1156-676=0

2×b^2-68b+480=0 |0,5

b^2-34b+240=0

Розв'язуємо квадратне рівняння:

D=34^2-4×1×240=1156-960=196=14^2

b1= (-(-34)+14)/2=(34+14)/2=24 см

b2= (-(-34)-14)/2=(34-14)/2=10 см

Відповідно, a1=34-24=10 см

a2=34-10=24 см

Отримуємо відповідь: катети дорівнюють 24 і 10см.

Дан треугольник АВС, АС-основание, МК параллельна АС. Площадь треугольника МВК=1, площадь четырехугольника АМКС=8, ВС+ВК=5 Найти КС. 
Площадь ∆ АВС равна сумме площадей  ∆ ВМС и  трапеции АМКС 
Ѕ ∆ АВС=1+8=9 
Так как МК ||АС, ∠ВМК=∠ВАС,   ∠ВКМ=∠ВСА как соответственные при пересечении параллельных прямых секущей,  и 
треугольники АВС и ВМК подобны по равенству  углов 
Ѕ ∆ ВМК: Ѕ ∆ АВС=1:9 
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия 
k=√1/9=1/3 ⇒ 
 ВК:ВС=1/3 
Пусть ВК=х, тогда ВС=3х 
ВС+ВК=4х 
4х=5 
х=5/4=1,25 
КС=3х-х=2х 
КС=1,25*2=2,5