А)Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходит только две прямые?б) В одной полуплоскости относительно прямой (МК) отложены два угла: МКС = 40о и МКD = 60о. Чему равен СКD?в) На отрезке [КМ] отметьте точку Р. Найдите длину отрезка [РК], если известно, что он в 4раза больше [РМ], а отрезок [КМ] = 20см

Шаг 1. Для удобства описания решения позволю себе обозначить O как O2, F как F1 и E как F2. 
Шаг 2. Обозначим точку пересечения AB и O1 O2 как D. 
Шаг 3. Решение будет симметрично относительно прямой AB, поэтому индексы я опускаю. 
Рассматриваем треугольник OBD: угол D прямой. значит, OD^2 = OB^2 - BD^2. 
Шаг 4. Рассматриваем треугольник OMD: угол D прямой, значит, OM^2 = OD^2 + MD^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2. 
Шаг 5. Рассматриваем треугольник OMF: угол F прямой, значит, MF^2 = OM^2 - OF^2 = OB^2 - BD^2 + MD^2 - OF^2. 
Вспоминаем, что OB = OF = R - радиус окружности, поэтому, MF^2 = MD^2 - BD^2. 
Равенство справедливо как для первой окружности, так и для второй. Осталось подставить соответствующие индексы..

Правило: Для получения вектора разности (c) = (a-b) начала векторов соединяются и началом вектора разности (c) будет конец вектора (b) (вычитаемое), а концом — конец вектора (a) (уменьшаемое).

Решение.

Для начала найдем модуль вектора а.

Дано разложение вектора по ортам: a=4i-3k, то есть координаты вектора

равны:

X=0 (так как базовый вектор i отсутствует),

Y=4 и Z=-3.

То есть дан вектор а(0;4;-3).

Тогда его модуль равен:

|a|=√(0²+4²+(-3)²) = √(16+9) = 5.

Вектор (a-b) найдем по теореме косинусов:

|a-b|² = |a|²+|b|²- 2a*b*Cos45 или

|a-b|² = 25+2-2*5*√2*√2/2 = 27-10 ≈ 17.

|a-b| ≈ √17 ≈ 4,1.

Мы нашли модуль (длину) вектора разности векторов а и b.

Но можно найти и его разложение по базовым векторам.

Для этого необходимо найти координаты конца вектора b

относительно начала координат.

Построим на координатной плоскости j,k (координата х отсутствукет)

данные нам вектора а и b и их разность в соответствии с правилом.

Соединим начала векторов в точке 4j (начало вектора а).

Тогда синус угла наклона вектора а относительно оси j будет равен

Sinα = (3/5)=0,6 (отношение j/|a|).

Угол α = arcsin(0,6) ≈ 37°.

Значит угол наклона вектора b относительно оси j будет равен

45°-37°= 8°.

Тогда координаты конца вектора b будут равны

jb = ja-|b|*Cos8 = 4-√2*0,99 ≈ 2,6.

Соответственно, kb = |b|*Sin8 ≈ 0,14.

Начало вектора (a-b) будет иметь координаты (2,6;0,14)

а его конец - (0;-3) - конец вектора а.

Соответственно, координаты вектора (a-b)=(2,6;-3,14) или

(a-b) = 2,6j - 3,14k.

Для проверки найдем модуль вектора

|a-b| = √(2,6²+(-3,14)²)= √(6,76+9,86)≈ 4,1 ед.

Это соответствует ранее найденному значению с учетом округлений.