В прямоугольном треугольнике ABC угол B=32°. Найдите угол между катетом АС и медианой СМ, проведённой к гипотенузе АВ.

Дана прямоугольная трапеция АВСД, диагонали которой пересекаются в точке K.Расстояния от точки К до боковых сторон равны 4 и 5. Найти площадь трапеции и радиус вписанной окружности.

Так как трапеция прямоугольная, то сразу из задания находим ответ на вопрос: радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки К до вертикальной боковой стороны АВ и  равен 5.
Тогда АВ = 2*5 = 10. Это также и высота Н трапеции.
На основе свойства любой трапеции: треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие, находим наклонную боковую сторону.
S(АВК) = S(СКД).
Отсюда СД = 10*5/4 = 12,5.
На основе свойства описанной трапеции: сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон, находим среднюю линию L трапеции.
L = (10 + 12,5)/2 = 22,5/2 = 11,25.
Получаем ответ:
S = HL = 10*11.25 = 112.5 кв.ед.

Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания а = 8 см, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом α = 30°.
Найти площадь полной поверхности пирамиды и объём.

Высота основания h = a√3/2 = 8√3/2 = 4√3.
Проекция апофемы на основание равна h/3 = 4√3/3.
Апофема А равна:
 А = (h/3)/cos α = (4√3/3)/(√3/2) = 8/3.
Высота пирамиды Н = (h/3)*tg α = (4√3/3)*(1/√3) = 4/3.
Периметр основания Р = 3а = 3*8 = 24.
Площадь боковой поверхности Sбок равна:
 Sбок = (1/2)РА = (1/2)*24*(8/3) = 32 кв.ед.
Площадь основания So = a²√3/4 = 8²√3/4 = 16√3 кв.ед.
Полная площадь S = So + Sбок = 16√3 + 32 = 16(√3 + 2) кв.ед.
Объём V = (1/3)SoH = (1/3)*(16√3)*(4/3) = (64√3/9) куб.ед.