Вправильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, высота 6 см. найдите площадь поверхности пирамиды

пирамида правильная. значит, основанием данной пирамиды является правильный  треугольник, а вершина  проецируется в его центр.

центр правильного треугольника - центр вписанной и описанной окружности, т.е. точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике и медианами и биссектрисами. 

а)

площадь поверхности пирамиды - сумма  площадей основания и  боковой поверхности.

формула площади правильного треугольника через его сторону 

s=a²•√3/4

s(abc)=16√3/4=4√3 см²

в правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.

для нахождения их площади следует найти апофему (апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многоугольника.) 

  углы правильного треугольника равны 60°

высота основания сн=вс•sin60°=4•√3: 2=2√3 

в правильном треугольнике высота=медиана.

медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от вершины. =>

он=2√3: 3=2√3: 3

он⊥ав=>  

по т. о 3-х перпендикулярах мн⊥ав и является высотой ∆ амс. 

высота пирамиды  перпендикулярна плоскости основания. =>  

мо⊥сн

по т.пифагора из прямоугольного ∆ мон 

мн=√(mo*+oh*)=√(36+12/9)=√(336/9)=(√336)/3

s(amb)=mh•ab: 2=(2√336)/3 

s (бок)=3•(2√336): 3=2√336

s (полн)=4√3+2√336=2√3•(2+√112)=≈ 43,5888 см²

Вопрос «какую часть составляет от» подразумевает, что следует определить, сколько раз один угол помещается в другом, и искомое  - одна часть из этого количества. чтобы ответить на этот вопрос, можно также    меньший угол разделить на больший.      1)в прямом угле угол, равный 30°, помещается  90°: 30=3 раза, т.е. в прямом три части по 30 градусов.  1: 3=1/3 или 30/90=1/3 следовательно, 30°  составляет 1/3 прямого угла.  2)угол 45°   90°: 45°=21: 2=1/2 или 45/90=1/2 45°  составляют 1/2 прямого угла 3)60°  градусов 90°: 60 =1,5 в прямом угле полторы части по 60 градусовили 60/90=2/3 60° =1: 1,5=2/3 прямого угла 3)15° 90°: 15°=61: 6=1/6 или 15/180=1/12 15°=1/6 прямого угла  точно так же находят части развёрнутого угла. расчеты писать не буду, их можно сделать самостоятельно.  30°=1/6 развернутого угла45°=1/4   —«—«—«--60°=1/3   —«—«—«--15°=1/12  —«—«—«--

Вэтой надо знать,  что в ортотреугольнике (так называется треугольник a1b1c1) высоты aa1, bb1 и  cc1  треугольника abc являются биссектрисами.  если это известно, то решение занимает пару строчек. h - точка пересечения высот. в четырехугольнике ac1hb1 два угла прямые, поэтому  ∠cab = 180°  -  ∠b1hc1; но  ∠b1hc1 = 180°  - (∠hc1b1 +  ∠ hb1c1); поэтому  ∠cab =  ∠hc1b1 +  ∠hb1c1 = (∠a1c1b1 +  ∠a1b1c1)/2 точно так же  ∠cba =  ∠ha1c1 +  ∠hc1a1 = (∠b1a1c1 +  ∠b1c1a1)/2 ∠bca =  ∠ha1b1 +  ∠hb1a1 =  (∠c1a1b1 +  ∠c1b1a1)/2 то есть углы треугольника abc будут такие (20°  + 90°)/2 = 55°; (20°  + 70°)/2 = 45°; (70°  + 90°)/2 = 80°; теперь я одно из нескольких известных мне доказательств свойства ортотреугольника. это гораздо интереснее и полезнее,  чем эта . если построить окружность на стороне ac, как на диаметре, то она пройдет через точки a1 и  c1 (из за прямых углов). это означает, что  ∠cc1a1 =  ∠caa1;   как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ca1;   точно так же, если построить окружность на стороне bc, как на диаметре, то она пройдет через точки b1 и  c1, и  ∠cc1b1 =  ∠cba1; как вписанные  углы,  опирающиеся на одну и ту же дугу cb1;     но  ∠a1ac =  ∠b1bc = 90°  -  ∠acb; следовательно  ∠a1c1c =  ∠b1c1c, чтд => сс1 является биссектрисой  ∠b1c1a1; само собой, и про остальные высоты все доказывается точно так же.