В равнобедренный треугольник вписана окружность которая делит боковую сторону на отрезки 6 и 4 см начиная от вершины при основании. Найдите периметр треугольника

10+10+8=28

Объяснение:

Так как треугольник равнобедренный, значит, его боковые стороны равны.

Следовательно, боковые стороны равны 6+4=10 см

Дальше.

По свойству касательных к окружности получаем, что половинка основания равна 4 (построй треугольник, впиши окружность и всё увидишь). Следовательно, вся сторона равна 4*2=8

Отсюда получаем: 10+10+8=28

По второму признаку равенства треугольников: "Если сторона и два прилежащих к ней угла в одном треугольнике равны стороне и двум прилежащим к ней углам во втором треугольнике - то такие треугольники равны". 
Нам дано, что BM - биссектриса (на рисунке) , значит угол ABM равен углу CBM по определению биссектрисы 
Она же есть высота. По определению высоты BM перпендикулярна AC, значит углы AMB и CMB равны между собой (каждый по 90 градусов) 
А также сторона BM - общая для треугольников ABM и CBM, значит эти два треугольника равны по 2-му признаку равенства треугольников. 
В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны (и наоборот) . Прямые углы AMB и CMB равны, значит и стороны, лежащие против них AB и CB. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. 
Утверждение доказано. 

Построим высоту правильного треугольника BH, в который вписана окружность

AH = AC/2 (высота в правильном треугольнике является его медианой, т. е. делит сторону на две равные части)

Рассмотрим ΔABH - прямоугольный

AH = AC/2 = AB/2 (в правильном треугольнике все стороны равны)

По теореме Пифагора выразим катет BH

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне

Найдем радиус описанной окружности около правильного треугольника, чтобы далее найти радиус вписанной. Для этого используем формулу:

a₃ = R√3, где a₃ - сторона правильного треугольника, R - радиус описанной окружности

Подставляем

12 = R√3

Найдем радиус вписанной окружности, используя формулу

где r - радиус вписанной окружности в правильный n-угольник, R - радиус описанной окружности около правильного n-угольника, n - число углов правильного треугольника (у нас правильный треугольник)

Подставляем

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, является радиусом описанной окружности около правильного шестиугольника (R₂)

Формула для стороны правильного шестиугольника через радиус описанной около него окружности:

a₆ = R, где a₆ - сторона правильного шестиугольника, R - радиус описанной около него окружности

Подставив, получаем

a₆ = 2√3 дм

Найдем периметр правильного шестиугольника:

P = 2√3 * 6 = 12√3 дм

Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник по той же формуле через радиус описанной окружности

Существует формула для нахождения площади правильного n-угольника:

где S - его площадь, P - его периметр, r - радиус вписанной в него окружности

Подставляем

ответ: S = 18√3 дм²