R, якщо центральний кут правильного многокутника дорівнює 60° , а периметр - 24

Не то, что было бы трудно сосчитать, "как человек". Я в конце приложу "детский" расчет. А пока вот - что. Размещу-ка я КООРДИНАТНЫЕ ОСИ таким образом, чтобы центр координат был в центре октаэдра, а вершины его - в симметричных точках на осях. "Легче простого" убедиться в том, что координаты этого тетраэдра будут такие

(0,0,3) (0,0,-3) (0,3,0) (0,-3,0) (0,0,3) (0,0,-3).

Можете убедится, что любое ребро такого октаэдра равно √18 = 3*√2; (ну, соедините точку на оси X, x = 3, с точкой на оси Y, y = 3, получится равнобедренный прямоугольный тр-к с катетом 3, и гипотенузой 3*√2, и так - все ребра).

А теперь найдем координаты вершин куба. Рассмотрим "положительный" октант, то есть ту восьмую часть пространства, где x>0,y>0,z>0. Уравнение плоскости грани легко записать в виде x + y + z = 3, при этом центр этого треугольника имеет одинаковые координаты по всем осям, то есть лежит на прямой x = y = z;

Поэтому координаты вершины куба (1,1,1). Ну, и сразу ясно, какие будут координаты вершин куба в остальных октантах

(1,1,1) (-1,1,1) (1,-1,1)(-1,-1,1)(1,1,-1) (-1,1,-1) (1,-1,-1)(-1,-1,-1). Очевидно, что ребро куба равно 2, а объем равен 8. При этом объем октаэдра равен

8*(3/3)*(3*3)/2 = 36.

 

Теперь "детское" решение. 

Сечение, перпендикулярное большой диагонали октаэдра, представляет собой квадрат со стороной 3*√2. Диагональ такого квадрата равна 6, а сторона квадрата, соединяющего середины сторон этого сечения, равна 3. Вершина куба лежит на апофеме, на расстоянии, на 1/3 апофемы ближе к вершине грани,чем середина основания, поэтому сторона куба равна 2/3 от стороны квадрата, соединяющего середины сторон построненного сечения. То есть равна 2, а объем 8.

1). Обозначим D-бОльшая диагональ,  d-меньшая сторона.⇒D+d=28⇒
D=28-d
Сторону ромба тогда можно выразить через теорему Пифагора:
(D/2)²+(d/2)²=a² подставим значения
(28-d)²/4+d²/4=10²
784-56d+d²+d²=400
2d²-56d+384=0⇒d²-28d+192=0
Найдем дискриминант:
D=28²-4*192=16, D больше 0, тогда диагональ равна 
d1=12, d2=16.
Если меньшая диагональ =12, тогда большая диагональ =16
Sромба=D*d/2=12*16/2=96см²
 
2). По теореме синусов СК=CD*sinD=12√2*sin45°=(12√2)*(√2/2)=12см.СК-высота трапеции. В трапецию можно вписать окружность тогда, когда сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. АВ+CD=BC+ADАВ=СК=2⇒  AB+CD=12+12√2=12(1+√2)cм⇒BC+AD=12(1+√2)S трап=1/2(ВС+AD)*СК=1/2*12*(1+√2)*12=72(1+√2) см²