Задача 3. ОК- внутрішній промінь кута АОВ. LKOB=36°, LAOK=2/3L KOB. Знайти

Объяснение:

№1

Чтобы найти нам площадь ABCD нам надо найти высоту BH и основание AD.

1. Рассмотрим ∆ABH: sinA=BH/AB

1/2=BH/8

отсюда BH=4;

2. AD=AH+HD

cis30°=AH/AB

√(3)/2=AH/8

8√(3)=2AH

AH=4√(3)

Отсюда AD=12+4√(3)≈19

3. Площадь ABCD=BH*AD=4*19=76см².

№2

Задача. Дан параллелограмм ABCD, боковая сторона равна 4 см, диагональ соединяющая вершины тупых уголов равна 5 см и перпендикулярна к боковым сторонам. Найдите основания параллелограмма.

Диагональ делит параллелограмм на 2 прямоугольных ∆ABD и ∆BDC.

Рассмотрим ∆ABD:

По теореме Пифагора:

AD²=AB²+AD²

AD²=16+25

AD²=41

AD=√(41)

По условию треугольник АВС - равнобедренный. Обозначим его равные стороны как 11х, а основание как 10х. Построим в треугольнике АВС высоту ВН. В равнобедренном треугольнике эта высота будет являться также и медианой (АН=СН=5x).
Треугольники АВС и А1ВС1 подобны по второму признаку подобия: две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны:
- А1В : АВ = С1В : СВ = 1/2 (коэффициент подобия k=1/2);
- угол В - общий для обоих треугольников.
Зная, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, запишем:
S A1BC1 : S ABC = k² = (1/2)²=1/4, отсюда
S ABC = 4*S A1BC1=4*20√6=80√6.
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
S ABC = 1/2*АС*ВН
80√6 = 1/2*10х*ВН.
Выразим высоту ВН. В прямоугольном треугольнике АНВ по теореме Пифагора можно выразить ее так:
BH=√AB²-AH²
BH=√(11x)²-(5x)²
BH=√96x²=x√16*6=4x√6.
Тогда 80√6 = 1/2*10х*ВН=1/2*10х*4x√6
80√6 = 20х²√6
х²=4
х=2
Находим периметр АВС: 
Р АВС = 11*2+10*2+11*2=64