У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об'єм піраміди (у см3), якщо твірна конуса дорівнює 9 см і нахилена до площини основи під кутом 45°.​

81

Объяснение:

Так як в основу конуса вписано прямокутний трикутник, то гіпотенуза АВ трикутника є діаметром кола основи і відповідно висота конуса SO є висотою піраміди. Тоді кут SAO є кутом нахилу твірної до площини основи і дорівнює 45o за умовою. Проведемо перпендикуляр ОК до катета ВС (ОК||АС). Тоді за теоремою про три перпендикуляри SK також перпендикулярний до ВС і кут SKO є кутом нахилу бічної грані до площини основи і дорівнює 60o.

З прямокутного трикутника SAO AO=AScosA=9cos45o=, SO=ASsinA=9sin45o=. З прямокутного трикутника SKO KO=SOctgK= ctg60o==. Так як К- центр кола, то К - середина АВ і ОК - середня лінія трикутника АВС. Звідси АС=2ОК=. АВ=2АО=. З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора ВС2=AB2-AC2= =. Тоді ВС=. Знайдемо площу основи. S==. Об'єм піраміди V===81 .

Дано:

Окружность с центром О.

ВС - диаметр.

А ∈ окружности с центром О.

∠АОС = 35°

Найти:

∠ВАО - ?

Решение:

Так как АО и ОВ - радиусы данной окружности с центром О ⇒ △ВОА - равнобедренный.

∠ОВА = ∠ВАО, по свойству равнобедренного треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

⇒ ∠ВАО + ∠ОВА = 35° (∠АОС = 35°, по условию)

Так как ∠ОВА = ∠ВАО, по свойству ⇒ ∠ОВА = ∠ВАО = 35°/2 = 17,5°

Так как АО и ОВ - радиусы данной окружности с центром О ⇒ △ВОА - равнобедренный.

∠ОВА = ∠ВАО, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠АОС смежный с ∠ВОА ⇒ ∠ВОА = 180° - 35° = 145°

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВАО =  ∠ОВА = (180° - 145°)/2 = 17,5°

ответ: 17,5°.

Дано:

Окружность с центром О.

ВС - диаметр.

А ∈ окружности с центром О.

∠АОС = 35°

Найти:

∠ВАО - ?

Решение:

Так как АО и ОВ - радиусы данной окружности с центром О ⇒ △ВОА - равнобедренный.

∠ОВА = ∠ВАО, по свойству равнобедренного треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

⇒ ∠ВАО + ∠ОВА = 35° (∠АОС = 35°, по условию)

Так как ∠ОВА = ∠ВАО, по свойству ⇒ ∠ОВА = ∠ВАО = 35°/2 = 17,5°

Так как АО и ОВ - радиусы данной окружности с центром О ⇒ △ВОА - равнобедренный.

∠ОВА = ∠ВАО, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠АОС смежный с ∠ВОА ⇒ ∠ВОА = 180° - 35° = 145°

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВАО =  ∠ОВА = (180° - 145°)/2 = 17,5°

ответ: 17,5°.