Радиус вписанного в правильный четырехугольник окружности равен 8. Найти: - сторону четырехугольника - радиус описанной окружности - периметр - площадь четырехугольника

(см. объяснение)

Объяснение:

Рассмотрим плоскость (AST). Заметим, что BC⊥(AST), так как BC⊥SO и BC⊥AT и SO∩AT=O. Тогда BC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Опустим теперь перпендикуляр AH из точки A на ST в плоскости (AST). Получим, что AH⊥ST и AH⊥BC и ST∩BC=T. Тогда AH⊥(BSC), т.е. является искомым расстоянием. Найдем теперь AH. Приравняв площади треугольника, получим, что . Понятно, что AT ищем по теореме Пифагора для треугольника ATC: AT²=AC²-TC², => AT=4√3. ST ищем по той же теореме Пифагора, но для треугольника STC: ST²=SC²-TC² => ST=2√21. Перед тем, как искать SO, вспомним, что медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины. Тогда OT=4/√3 => SO=2√177/3 (опять-таки по теореме Пифагора для треугольника OST). Значит . Приведем теперь ответ к требуемому виду: .

Задание выполнено!

 1.

В параллелограмме противоположные стороны равны.

Пусть меньшая сторона равна x, тогда противоположная равна x, а смежные с ней равны x+7см. Периметр 54см, поэтому

2·(x + x+7см) = 54см = 4x+14см

4x = 54-14 = 40см

x = 40:4 = 10см - длина каждой из двух меньших сторон.

x+7см = 10+7 = 17см - длина двух других сторон.

ответ: 10см, 17см, 10см и 17см.

 2.

В прямоугольнике противоположные стороны равны (BC=AD), диагонали тоже равны (AC=DB), а точкой пересечения делятся пополам.

AO = AC:2 = 24:2 = 12см

DO = DB:2 = AC:2 = 12см

AD = BC = 16см

AO+DO+AD = 12+12+16 = 40см

ответ: 40см.

 3.

Противоположны углы в ромбе равны, смежные углы дают в сумме 180°, а диагонали служат биссектрисами углов.

Сторона образует с диагональю угол в 18°, это же диагональ проходит через углы в 18°·2=36° т.к. она делит их пополам.

Остальные два углы равны между собой и вместе с углом в 36° дают 180°. То есть они равны 180°-36° = 144°.

ответ: 144°, 36°, 144° и 36°.

 4.

ΔAEB = ΔCFD по двум сторонам и углу между ними (AB=CD как противоположные стороны параллелограмма; ∠BAE=∠DCF как накрест лежащие; AE=CF по условию).

BE = DF, как стороны лежащие напротив равных углов (∠BAE=∠DCF), в равных треугольниках. Доказано.