На отрезке МN длиной 39 см взята точка Р. Найдите длину отрезков МР и РN, если PN меньше МР в 2 раза.

26; 13.

Объяснение:

Пусть PN = х, тогда согласно условию МР = 2х.

с другой стороны: 2х + х = 39

3х = 39

х = 13 = PN;

MP = 2PN = 26

Искомая площадь - сумма площадей двух сегментов круга, отсекаемых от него ромбом.

Угол СТО опирается на диаметр и равен 90º

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка из этой точки, перпендикулярного к этой прямой. 

ОТ ⊥ ВС  и является расстоянием от О до ВС. 

ТО=3 см ( расстояние от точки до прямой - перпендикуляр)

Формула площади сегмента ромба:

S=0,5R²[(πα/180º)-sin α], 

где R радиус круга, α - угол сегмента в градусах, π≈3,14

∆ ВОС~∆ ВОТ ( прямоугольные с общим углом при В)

∠ВОТ=∠ВСО

tg∠ВОТ=ВТ:ТО=√3:3=1/√3. Это тангенс 30º

∆ ТО1С равнобедренный. 

∠ ТСО₁=∠ СТО₁

∠ ТО₁С=180-2∠ТСО₁

Отсюда ∠ТО₁С=180º-2*30º=120º

Из ∆ ТОС

ОС=ТО:sin30º=3:0,5=6 см

R=ОС:2=3 см

Сумма площадей 2-х сегментов 

S=R²[(πα/180º)-sin α],

sin 120º=√3/2

Подставим найденные величины:

S=3²[(π120º/180º)-√3/2]

S=6π-9√3)/2

S=6π-4,5√3≈11,055 см²

-------

В приложении решение дано несколько иное, хотя принцип тот же.  

Дано:                                     Решение:
ΔАВС-равносторонний        1) ВК - в равностороннем ΔАВС- является и
АВ=ВС=АС=9√3                     высотой и медианой
ВК-биссектриса  
 Найти: ВК=?                       2) рассмотрим ΔАВК-прямоугольный
                                               АВ=9√3, АК=1\2 АС=1/2·9√3=4,5√3=9/2√3
                                            3) По Т.Пифагора: ВК=√АВ²-АК²=
                                               = √(9√3)²-(9/2√3)²=
                                               = √81·3-81/4·3=√729/4=27/2=13,5
                                       ответ: 13,5