В треугольнике АВС точка М - середина отрезка АС, точка N - середина отрезка ВС. Площадь треугольника АВС равна 20 см². Найти площадь треугольника BMN.

Радиус шара равен 2. (4/3)*pi*r^3 = 32*pi/3; r^3 = 8; r = 2;

Проведем сечение пирамиды вместе с шаром через высоту пирамиды и середины противоположных сторон основания. Получился равнобедренный треугольник, у которого высота h = 6, а радиус вписанной окружности r = 2; нужно найти сторону, перпендикулярную h (основание, а боковыми сторонами будут апофемы пирамиды:))

проведем из центра вписанной окружности перпендикуляр на боковую сторону. получился прямоугольный треугольник со сторонами h - r = 4 (гипотенуза) и r = 2 (катет). Ясно, что в таком треугольнике углы 30 и 60 градусов.

Поэтому треугольник в сечении - равносторонний, и его сторона равна

h/sin(60) = 12/корень(3).

Объем пирамиды

Vp = (1/3)*6*(12/корень(3))^2 = 96;

Объяснение:

Трапеция ABCD, AB=CD - боковые стороны, AC⊥BD, AC=BD. Применим стандартный прием - сдвинем диагональ BD параллельно себе так, чтобы точка В совпала с точкой  С. При этом точка D перейдет в некоторую точку  M на прямой AD. Получили равнобедренный прямоугольный треугольник ACM c гипотенузой AM, равной сумме оснований трапеции. Так как треугольник равнобедренный, высота, опущенная из вершины С, по совместительству является медианой, а, как известно, медиана прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. А высота этого треугольника равна высоте трапеции.  И, наконец, средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Из всего этого делаем вывод. что  средняя линия трапеции равна высоте, то есть восьми.

ответ: 8