Две окружности с радиусами 18 см. и 12см. имеют общий центр.найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружностями.

1)     рисуем треугольник авс ( c   - прямой,   а = 30 градусов,   ас = 48 см) тогда   катет, лежащий против угла  30 градусов   равен половине гипотенузы, т.е.   вс = 1/2  ав. примем  вс=х, тогда  ав  = 2х, тогда  по теореме пифагора     ав²   =   ас²   +  вс²                                               (2х)²    =   48²   +  х  ²                                               4х²    =     48²   +  х  ²                                               3х²    =     48²                                                  х²    =     48²/3                                                   х =  48/√3 =  16*3/√3  =16√3  итак  вс =  16√3. 2)         угол в =   90 - 30 = 60.   пусть   вм   =    биссектриса угла в.  она делит угол на два угла по  30 градусов.     рассмотрим треугольник  вмс   -   он  прямоугольный и   угол мвс   =   30 градусов, значит   мс = 1/2 вм. пусть   мс = y,   тогда   вм = 2y, тогда  по теореме пифагора   вм²   =   мс²   +  вс²                                             ( 2y)  ²   =  y²   +   (16√3)²                                                 3y²  =  16² *  3                                                   y²  =  16²                                                   y   =  16   =>   вм = 2y =  вм = 2*16=32 ответ :   32.

Водной окружности если дуги равны, то стягивающие их хорды равны, значит вс=ав. по теореме косинусов квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.  следовательно, вс²=мс²+вм²-2*мс*вм*cosα  (1) ав²=мв²+ма²-2*мв*ма*cosα  (2). но вс=ав. приравняем оба уравнения и, подставив известные значения,  получим: 17-8*cosα = 52-48*cosα, отсюда cosα=7/8. подставив это значение в (1), получим ав=вс=√10см. соединим центр окружности о с концами в и с хорд мв и мс. угол вос - центральный и равен двойной градусной мере угла вмс, то есть < boc=2α. если cosα=7/8, то sinα = √(1-49/64) =√15/8. мы знаем, что длина хорды равна l=2*r*sin(α/2), где α - центральный угол. но  в нашем случае этот угол равен 2α . значит у нас  l=2*r*sinα. отсюдаr=l/(2*sinα) , подставив значения, имеем: r=(√10*8)/(2√15) = 4√2/√3 = 4√6/3. ответ: радиус окружности r=4√6/3.