Образом точки M(-3;m) при повороті на кут 90° за годинниковою стрілкою навколо т.О(0;0) є точка N(-5;n Знайти m і n

Для начала вспомним, что тупой угол - это угол с градусной мерой больше 90° и меньше 180°. Из одной точки можно пустить три луча, которые между собой образуют 3 тупых угла.
Пустим 4-й луч вблизи одного из трёх лучей, у нас добавится дополнительно 2 тупых угла. 5-й луч пустим вблизи второго из числа первых трёх, дополнительно образуются 3 тупых угла. Наконец, пускаем 6-й луч вблизи третьего, получив дополнительно 4 тупых угла. У нас будет получаться как бы три пучка близко расположенных лучей в каждом пучке.
Считаем сколько получилось тупых углов после добаления к первым трём лучам ещё трёх лучей. 3 луча было, плюс 2, плюс 3 и плюс 4, всего 12 лучей.
Итак, для 3-х лучей - 3 тупых угла; для 6 лучей - 12 тупых углов.
Рассуждаем аналогично, добавляя по очереди ещё 3 луча. Добавятся сначало 4 угла, затем 5 и, наконец, 6; т.е. всего добавится 15 тупых углов. А всего для 9 лучей будет 27 тупых углов.
Точно также, считая для 12 лучей, получим дополнительно 6+7+8 = 21 тупых угла, а всего - 48.
Можно было бы и далее продолжать таким но мы замечаем закономерность.
Пусть а1 = 3 - это первый член последовательности. Используя предыдущее значение (рекуррентно), можно вычислить следующее значение по формуле:
, где n - число лучей кратное 3.
Пробуем вычислить по этой формуле:
 


Итак, ответ найден. Для 27 лучей возможно максимум 243 тупых угла.
Так считать долго, можно увидеть формулу для прямого расчёта:


По этой формуле можно считать для любого количества лучей, кратное трём.

1. ΔАОВ: ∠АОВ = 90°, АВ = АО/ cos60° = 2 см
АВ = АС = 2 см
ΔАВС: ∠САВ = 90°, по теореме Пифагора
           ВС = √(АВ² + АС²) = √(4 + 4) = 2√2 см

2. ΔАВС равносторонний, так как АВ = АС = 2 см и ∠ВАС = 60°, ⇒
ВС = 2 см
ΔАОВ = ΔАОС по катету и гипотенузе (АО - общий катет, АВ = АС по условию), ⇒ ОВ = ОС.
ΔОВС - прямоугольный, равнобедренный, значит
ВС = ОВ√2
ОВ = ВС/√2 = 2/√2 = √2 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора
           АО = √(АВ² - ОВ) = √(4 - 2) = √2 см

3. ΔАВС равносторонний, так как АВ = АС  и ∠ВАС = 60°, ⇒
ВС = АВ = АС = х
ΔАОВ = ΔАОС по катету и гипотенузе (АО - общий катет, АВ = АС по условию), ⇒ ОВ = ОС.
ΔОВС - прямоугольный, равнобедренный, значит
ВС = ОВ√2
ОВ = ВС/√2 = х/√2
ΔАОВ: cos∠ABO = OB/AB = x/√2 / x = 1/√2 = √2/2, ⇒
∠ABO = 45°
∠ACO = ∠ABO = 45° так как ΔАОВ = ΔАОС.