У рівнобічну трапецію вписане коло з основами 18 см і 8см . Знайти діагональ цієї трапеції

1) Р=48 см
а- сторона квадрата =Р/4=48/4=12 см
d-диагональ квадрата
r -описанной окружности равен половине диагонали квадрата
d²=(a²+a²)=(144+144)=288
d=12√2, тогда r=12√2/2=6√2
Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне, значит сторона шестиугольника =6√2

2) S=45π площадь кольца, R-внешний радиус, r-внутренний радиус
r-3 м внутренний радиус (если бы был внешний ,то общая площадь окружности была бы 9π, что не соответствует условию задачи)
S(площадь кольца)=π(R²-r²)
π(R²-r²)=45π
R²-9=45
R=√54=3√6 м

3) длина дуги 4π , соответствует углу 180 градусов, значит полная длина окружности L=360/180*4π=8π
L/2r=π
r=L/2π=8π/2π=4

KPNM - трапеция,  PN║KM ,  KM=16 .
AK=AN ,  BM=BP ,  AB=5 .
  Продолжим отрезок АВ до пересечения его со сторонами трапеции
  КР и NM . Получим отрезок СД.
   Так как средняя линия трапеции проходит и через середины диагоналей трапеции, то отрезок АВ лежит на средней линии, которой будет отрезок  СД и тогда АВ║КМ. 
 Точка Д - середина NM, т.к.  она лежит на продолжении АВ и
  тогда АД║КМ.
 По теореме Фалеса стороны ∠KNM пересечены параллельными отрезками АД  и КМ  ⇒  точка Д - середина NM, раз точка А - середина KN. Аналогично, точка С - середина КР . 
ΔKNM:  BД - средняя линия ΔKNM ,BД║КМ, ВД=1/2*КМ=1/2*16=8.
ΔKPM:  CB - средняя линия ΔKPM , CB║KM , CB=1/2*КМ=1/2*16=8.
СА=СВ-АВ=8-5=3
ВД=ВД-АВ=8-5=3
СД=СА+АВ+ВД=3+5+3=11
Средняя линия СД=(КМ+PN)/2=(16+PN)/2=11 ,
                                                       16+PN=2*11
                                                        16+PN=22
                                                              PN=6
Если знать свойство: длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований, то можно решить быстрее.
АB=(КМ-PN)/2  ,  5=(16-PN)/2  ,  16-PN=10  ,  PN=6 .