У трикутнику ABC висота BD поділяє сторону AC на відрізки AD і BC=6 см Кут А=30° кут ABD=45° Знайдіть сторону AC трикутника​

1. SABC - пирамида, АВ = ВС = √5, АС = 4.

Пусть SO - высота пирамиды, тогда АО, ВО и СО - проекции боковых ребер на плоскость основания, а углы SAO, SBO и SCO - углы наклона боковых ребер к основанию и равны 45°. Тогда ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO по катету (общий SO) и острому углу.

Значит АО = ВО = СО, значит О - центр описанной около АВС окружности.

Стоит запомнить: Если боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к основанию, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания.

Так как треугольник АВС равнобедренный, О лежит на высоте ВН, проведенной к основанию. ВН является и медианой: АН = 2.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

ВН = √(АВ² - АН²) = √(5 - 4) = 1, ⇒

sin∠BAH = BH / AB = 1/√5

По следствию из теоремы синусов:

2R = BC / sin∠BAH = √5 / (1/√5) = 5

R = 5/2 = 2,5, т.е. ВО = 2,5

ΔSBO прямоугольный с углом 45°, значит равнобедренный:

SO = BO = 2,5

V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO

V = 1/3 · 1/2 · 4 · 1 · 2,5 = 5/3 куб. ед.

Так как ВО больше ВН, центр описанной около треугольника АВС окружности лежит вне треугольника. Чертеж пришлось уточнить.

2. Если боковые ребра пирамиды равны, то высота проецируется в центр окружности, описанной около основания. О лежит на высоте ΔАВС, так как он равнобедренный.

ВН - высота и медиана, ⇒ АН = СН = АВ/2 = 3 см.

ΔАВН: ∠АНВ = 90°, по теореме Пифагора

АВ = √(ВН² + АН²) = √(81 + 9) = √90 = 3√10 см.

sin∠BAH = BH/AB = 9/(3√10) = 3/√10

По следствию из теоремы синусов:

2R = BC / sin∠BAH = 3√10 / (3/√10) = 10

R = 10/2 = 5 см, т.е. ВО = 5 см

ΔSOB: ∠SOB = 90°, по теореме Пифагора

SO = √(SB² - BO²) = √(169 - 25) = √144 = 12 см

V = 1/3 Sосн · SO = 1/3 · (1/2 AC · BH) · SO

V = 1/3 · 1/2 · 6 · 9 · 12 = 108 см³

Условие задачи неполное. Должно быть так:
Дан треугольник АВС (∠С = 90°), ∠А = 30°. DВ перпендикулярен плоскости АВС, АВ = 6√3 см, DC = 6 см. Найдите угол между плоскостями АDС и АВС.

ВС⊥АС по условию (треугольник прямоугольный),
ВС - проекция DC на плоскость АВС, ⇒
DC⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Плоскости ADC и АВС пересекаются по прямой АС. АС - ребро двугранного угла,
ВС⊥АС, DC⊥АС, ⇒ ∠DCB - линейный угол двугранного угла между плоскостями ADC и АВС - искомый.

ΔАВС: ВС = 1/2 АВ = 3√3 см как катет, лежащий против угла в 30°.
ΔDBC: ∠DBC = 90°,
               cos∠DCB = BC/DC = 3√3/6 = √3/2
               ∠DCB = 30°