Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: . Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику.
Высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, есть средняя пропорциональная между отрезками гипотенузы, а каждый катет есть среднее пропорциональное между всей гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Доказательство. Вот наш прямоугольный треугольник ABC, вот его гипотенуза AB, вот высота CH, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу. И вот отрезки, на которые высота делит гипотенузу: AH и BH. И нам надо доказать, что высота — это среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, то есть AH/CH = CH/BH, доказать, что каждый катет — это среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу, то есть AB/AC=AC/AH и AB/BC=BC/BH. Все эти три равенства следуют из подобия трёх изображённых треугольников ▲ACH, ▲BCH и исходного треугольника ▲ABC. Докажем сначала подобие ▲ACH и ▲ABC. У обоих этих треугольников равные прямые углы, и равные углы с кружком — то есть треугольники подобны по первому признаку, и третьи углы (с зубчиками) у них тоже равны. У треугольников ▲BCH и ▲ABC тоже равные прямые углы и равные углы с зубчиками — выходит, эти треугольники тоже подобны по первому признаку, и третьи углы (с кружком) у них тоже равны. У треугольников ▲ACH и ▲BCH тоже равные прямые углы и углы с кружком, и эти треугольники тоже подобны по первому признаку.
Подобие трёх треугольников доказано.
В подобных треугольниках ACH и BCH отношения короткого и длинного катетов равны — а это как раз наше первое равенство. В подобных треугольниках ACH и ABC отношения гипотенузы и короткого катета равны — это наше второе равенство.
В подобных треугольниках BCH и ABC отношения гипотенузы и длинного катета равны — и это наше третье равенство.
Равенства доказаны — а их и надо было доказать.
Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:
Тест по теме «Окружность» (Теоретический) Прямая и окружность имеют две точки пересечения, если расстояние от центра окружности до прямой: Больше радиуса окружности Равно радиусу окружности Меньше радиуса окружности Не меньше радиуса окружности Касательной к окружности называется: Прямая, которая пересекает окружность Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку Прямая, имеющая с окружностью общие точки Отрезок, имеющий с окружностью только одну общую точку Признак касательной к окружности гласит: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, то она является касательной Если прямая имеет с окружностью общие точки, то она является окружностью Если прямая походит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной. Центральным называется угол окружности, у которого: Вершина совпадает с центром окружности Стороны пересекают окружность Вершина лежит внутри окружности Вершина лежит на окружности Градусная мера вписанного угла: Равна градусной мере центрального угла, опирающегося на ту же дугу Равна градусной мере дуги, на которую он опирается Равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается Вдвое больше градусной меры дуги, на которую он опирается Выберите верное утверждение: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, развернутый Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, острый Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, тупой Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой Выберите утверждение, которое не является верным: Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе Точка пересечения высот треугольника совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника Биссектрисы треугольник пересекаются в одной точке В любом вписанном четырехугольнике: суммы смежных сторон равны суммы противоположных сторон равны сумма соседних углов равна 180° сумма противоположных углов равна 180°
2)Множество точек, удаленных на расстояние а от точки М - это окружность с центром в т. М и радиусом равным а.
А множество точек, удаленных на расстояние b от точки Р - это окружность с центром в т. Р и радиусом равным b
Возможно три случая:
1) Если расстояние между точками М и Р меньше, чем сумма а + b, то окружности пересекутся в двух точках (два решения) .
2) Если расстояние между точками М и Р равно сумме а + b, то окружности будут касаться и иметь единственную общую точку.
3) Если расстояние между точками М и Р больше, чем сумма а + b, то окружности не пересекутся (решений нет) .
ОТВЕТ: если MP< а + b, то таких точек две,
если MP = а + b, то точка одна,
если MP > а + b, то задача не имеет решения.