Радиус основания конуса равно 6 см, а его высота 8 см найдите объем и площадь боковой поверхности конуса.

v=1/3 пиr^2h

sбок =пи rl 

 

расмотрим прям. треугольник, корень 8^2 + 6^2 = 10 то есть l=10

v=1/3пи36*8=96

sбок=пиrl= пи 6*10 = 60 

Дано:                                                                                                             решение: sabcd - правильная ab = bc = bs = 1                              δscd и δsab - равносторонние sm = mc; sk = kb                          cd = ab и cm = kb; => dm⊥sc и ak⊥sb                   следовательно: ak = md доказать:   ak = md                      и трапеция akmd - равнобедренная  найти:   cos α                                            построим sf⊥bc. так как δbsc - равносторонний, то bf = fc = 0,5 тогда:                       sf = √(sc²-fc²) = √0,75 = √3/2               и  nf = sf/2 = √3/4 sx - высота пирамиды. в δsxf:   ∠sxf = 90°; xf = 0,5; sf = √3/2 тогда:               sx = √(sf²-fx²) = √(0,75-0,5) = √0,25 = 0,5 и δsxf - равнобедренный, т.е. sx = xf = 0,5  и ∠sfx = 45° в трапеции akmd находим np = mp':     так как km = bc/2 по условию, то mn = bc/4 = 0,25   так как dm⊥sc и см = 0,5; dc = 1, то: dm = √(1-0,25) = √3/2   тогда:           np = mp' = √(dm²-(pd-mn)²) = √(3/4 - (0,5-0,25)²) =√(11/16) = √11/4 в  δnpf:   np = √11/4; nf = √3/4; pf = 1 по теореме косинусов:                                                                       nf² = np² + pf² - 2*np*pf*cosα                                                                       3/16 = 11/16 + 1 - 2√11/4 * 1 * cosα                                                                       √11/2 * cosα = 11/16 - 3/16 + 1                                                                       cosα = 3√11/11                                                                       cosα = 0,9                                                               ответ: 0,9

Площадь ромба:                                                         s = a² * sinα = 8² * sin60° = (64√3)/2 = 32√3 так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом и половина меньшей диагонали лежит напротив угла α/2 = 30°, то длина половины меньшей диагонали равна половине диагонали треугольника, то есть стороне ромба:                                 d₁/2 = a/2    =>   d₁ = a = 8 (см) или так: треугольник, образованный двумя сторонами ромба и его меньшей диагональю, является равнобедренным с углом при вершине α = 60°. значит 2 угла при основании равны также 60° и данный треугольник является равносторонним. следовательно, d₁ = a = 8 (см) таким образом, h = d₁ = 8 (см), где h - высота параллелепипеда объем параллелепипеда:                                                     v = sh = 32√3 *8 = 256√3 ≈ 443,4 (см³) ответ: 443,4 см³