15б Вычисли объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды, если стороны оснований равны 10 см и 3 см и расстояние между основаниями равно 24 см.

Для решения этой задачи, мы можем использовать формулу объема усеченной пирамиды:

V = (1/3) * h * (A + a + √(A * a))

где V - объем пирамиды, h - высота пирамиды, A и a - площади оснований пирамиды.

1. Найдем площади оснований A и a.
A = сторона^2 = 10^2 = 100 см^2
a = сторона^2 = 3^2 = 9 см^2

2. Найдем высоту пирамиды h, используя факт, что расстояние между основаниями пирамиды равно 24 см.
Для этого, нужно нарисовать вертикальный сечение пирамиды, которое будет выглядеть, например, как прямоугольный треугольник.

|\
| \
| \ 24 см
| \
|____\
3 см 10 см

Видим, что треугольник равнобедренный, так как у него две равные стороны длиной 10 см и 3 см.

Для нахождения высоты пирамиды, нам нужно найти высоту треугольника, который получится, если мы проведем линию из вершины пирамиды к нижнему основанию. Назовем этот треугольник треугольник АВС, где А и В - вершины верхнего основания пирамиды, и С - середина отрезка АВ (центральная точка).

Заметим, что треугольник АВС является прямоугольным, так как отрезок СВ - высота, и он является высотой к основанию АВ пирамиды.

Высота треугольника можно найти, используя теорему Пифагора:
h_треугольника^2 = СВ^2 + СА^2
Заметим, что СВ = 24/2 (так как это половина расстояния между основаниями), а СА - одна из равных сторон треугольника АВС. Для удобства, обозначим эту сторону как b.
h_треугольника^2 = (24/2)^2 + b^2
h_треугольника^2 = 12^2 + b^2
h_треугольника^2 = 144 + b^2

Размер b можно найти, используя теорему Пифагора, так как треугольник равнобедренный.
b^2 = сторона^2 - (сторона/2)^2
b^2 = 10^2 - (10/2)^2
b^2 = 100 - 25
b^2 = 75

Подставив это значение в предыдущее уравнение, получим:
h_треугольника^2 = 144 + 75
h_треугольника^2 = 219

Теперь найдем значение h:
h_треугольника = √219
h_треугольника ≈ 14.8 см

Но нам нужна высота всей пирамиды, а не высота только одного треугольника. Так как треугольник АВС является половиной высоты пирамиды, тогда высота пирамиды будет равна:
h = 2 * h_треугольника
h ≈ 2 * 14.8 см
h ≈ 29.6 см

3. Наконец, подставим значения A, a и h в формулу для рассчета объема пирамиды:
V = (1/3) * h * (A + a + √(A * a))
V = (1/3) * 29.6 см * (100 см^2 + 9 см^2 + √(100 см^2 * 9 см^2))
V = (1/3) * 29.6 см * (109 см^2 + √(900 см^4))
V = (1/3) * 29.6 см * (109 см^2 + 30 см^2)

В рабочих единицах, мы можем умножить числа внутри скобки, а затем умножить это значение на 1/3:
V = (1/3) * 29.6 см * 139 см^2
V ≈ 12.58 см * 139 см^3
V ≈ 1743.62 см^3

Поэтому, объем этой усеченной четырехугольной пирамиды составляет примерно 1743.62 кубических сантиметра.