Обчисліть довжину сторони MP трикутника MNP, якщо MN=7см NP=3 корінь з 2 кут N=45°​

Поскольку тангенс угла ВАС равен 3/4, треугольник АВС - "египетский", то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. 

Высота к гипотенузе СР делит треугольник АВС на два, ему же подобных (из за равенства острых углов), то есть треугольник ВСР тоже "египетский".

Следовательно, его стороны можно представить, как 3х, 4х, 5х, и радиус вписанной окружности равен

r = (3х + 4х - 5х)/2 = х;

То есть x = 8, и стороны ВСР таковы 24, 32, 40.

На самом деле, ответ уже найден, поскольку соотношение r = (3х + 4х - 5х)/2 = х; связывает коэффициент подобия с радиусом (они просто равны, поскольку  у  "чисто" египетсткого треугольника 3,4,5 r = 1).

В данном случае ВС = 40, и она соответствует стороне 3, то есть r = 40/3.

Пусть в трапеции ABCD AD, BC - основания, а диагонали пересекаются в точке O. В треугольнике AOD проведем высоту OH. Так как трапеция равнобедренная, AO=DO, и в прямоугольном треугольнике AOD острые углы равны 45 градусам. Тогда в прямоугольном треугольнике AOH один из углов равен 45 градусам, тогда и второй угол равен 45 градусам, тогда катеты равны, AH=OH. Аналогично проведем высоту OM в треугольнике BOC, получим, что BM=MO (треугольник BMO прямоугольный и равнобедренный). Тогда высота трапеции - HM - равна AH+BM - полусумме оснований - средней линии. Площадь равна произведению средней линии на высоту, тогда она равна 6*6=36.