Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 3, 6, а AB=8.

O - центр окружности.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной.

OBA=90

OB=OC =3,6/2 =1,8 (радиусы)

AO =√(AB^2 +OB^2) =8,2 (теорема Пифагора)

AC =AO+OC =10

Или

MC - диаметр.

Произведение секущей (AC) на ее внешнюю часть (AM) равно квадрату касательной (AB).

AB^2 =AM*AC

64 =(AC-3,6)AC => AC^2 -3,6 AC -64 =0 =>

AC =1,8 +√(3,24 +64) =10 (AC>0)

2.Высота делит этот треугольник на два, один из которых равнобедренный прямоугольный. (Угол 45 градусов по условию, второй после построения высоты)

Катеты в нем равны.

Обозначим каждый  х,

-один из катетов часть основания, второй катет - высота.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов:

2х²=49*2

х²=49

х=7 см

Высота равна 7, основание треугольника 10.

S=1/2h*a

S=7*10:2=35 cм

3.В трапеции АВСД АВ=СД=10 см, АС=17 см, АД-ВС=12 см.

Проведём СН⊥АД.

В равнобедренной трапеции ДН=(АД-ВС)2=12/2=6 см.

Тр-ник CДН - египетский т.к. отношение гипотенузы и катета равны 5:3 (СД/ДН=10/6=5/3), значит СН=4·2=8 см.

В прямоугольном тр-ке АСН АН²=АС²-СН²=17²-8²=225,

АН=15 см,

АД=АН+ДН=15+6=21 см.

АД-ВС=12 ⇒ ВС=АД-12=21-12=9 см.

S=CН·(АД+ВС)/2=8(21+9)/2=120 см² - это ответ.

Можно воспользоваться признаками равенства треугольников по трём сторонам, а затем по двум сторонам и углу между ними, если вы его уже как аксиомами без доказательства.
Нам известны две стороны, а медиана, упирающаяся в одну из них, образует третью сторону, делящую на равные отрезки одну из известных(получается как бы цифра 4, где косая черта - одна сторона, вертикальная - та, в которую уперлась медиана, а горизонтальная черта - сама медиана). У сравниваемых треуг-в Медианы равны, соответственно, поделенные ими равные отрезки равных сторон тоже равны, и ещё две стороны соответственно равны из условия - это признак равенства по трём сторонам, т.е. мы доказали, что эти части треугольников равны. А коли они равны, то и углы при них соответственно равны, а, значит, у нас есть признак равенства по 2м сторонам(косая и верт. черты) и углу между ними(вершина четверки). его и применяем. задача решена)