Треугольник АВС описан около окружности с центром в точке О угол САО=27° найдите угол ВАО​

Дана трапеция АВСД, ВС = 4 см, АД = 6 см. ВД = 5 см, АС = 6 см.

Проведём отрезок СЕ, равный и параллельный диагонали ВД.

Получим треугольник АСЕ со сторонами 5, 6 и 10 см.

cos (AEC) = (100 + 36 - 25)/(2*10*6) = 111/120 = 37/40.

Угол АЕС = arc cos(37/40) = 22,33165°.

Так как угол АЕС равен углу АДВ, то в равнобедренном треугольнике АВД острый угол трапеции ДАВ равен:

∠ДАВ = (180 - 22,33165)/2 = 78,83418°.

Находим сторону трапеции СД = √(36 + 16 - 2*6*4*(37/40)) = √7,6.

Теперь можно определить угол СДА.

cos(CDA) = (36 + 7.6 - 25)/(2*6*√7,6) = 18,6/(12√7,6) = 1,55√7,6 ≈ 0,562244.

Угол (СДА) = arc cos(1,55√7,6) ≈ 0,9737 радиан или 55,7889 градуса.

АВ = Рabcd : 4 = 12 : 4 = 3 см
ВВ₁ и DD₁ - медианы, значит
AD₁ = D₁B = AB₁ = B₁D = 3/2 см

ΔABD равнобедренный, поэтому
∠ABD = ∠ADB,
BD₁ = DB₁, BD - общая сторона для ΔDD₁B и ΔBB₁D, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
BB₁ = DD₁.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Обозначим OD₁ = OB₁ = x, тогда OD = OB = 2x.
ΔOBD равнобедренный, значит ∠OBD = ∠ODB = 40°.
∠D₁OB = ∠OBD + ∠ODB = 80° как внешний угол ΔDOB.

Рассмотрим ΔD₁OB. По теореме косинусов
D₁B² = OD₁² + OB² - 2·OD₁·OB·cos 80°
9/4 = x² + 4x² - 2 · x · 2x · cos80°
9/4 = 5x² - 4x² · cos80°
9/4 = x² (5 - 4cos80°)
x² = 9 / (4(5 - 4cos80°))
x = 3  / (2√(5 - 4cos80°))

BB₁ = 3x = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) или


Если необходимо числовое значение, а не выражение, можно взять значение cos 80° по таблице, тогда получится:
cos 80° ≈ 0,1736
BB₁  = 9  / (2√(5 - 4cos80°)) ≈ 2,2