Перпендикулярні площини а і b перетинаються по прямій l. Відрізки ОА і ОВ, які лежать в площині a i b відповідно, перпендикулярні до прямої l, а їх спільна точка - точка О, яка лежить на цій прямій. Знайти довжину відрізка АВ, якщо ОА=20 см, ОВ:АВ=12:13

Дан куб с ребром равный 1. Найти угол между прямыми DA1 и BD1

ВD1 - диагональ куба. DА1 - диагональ его грани. 

Проведем через середину диагонали куба  прямую, параллельную DА1 и пересекающую ребра А1В1 и DС. Оба отрезка пересекутся в центре куба О и делятся им пополам. 

Стороны четырехугольника МD1М1В равны, т.к. являются гипотенузами треугольников с равными катетами, следовательно, этот четырехугольник - ромб, и его диагонали М1М и ВD1 пересекаются под углом 90º

Найти угол между МО и ВО можно и из ∆ ВОМ по т.косинусов. 

ВМ²=МО²+ВО² - 2МО•BO•cos∠BOM

cos∠BOM=(ВМ²-МО²+ВО²):(- 2МО•BO) 

МО=половине диагонали грани, 

ВО - половине диагонали куба. 

Вычислить длины сторон ∆МОВ не составит труда. Результат решения уравнения - косинус угла ВОМ=0, и это косинус 90º

Обозначим точку касания как К. Соединим К с центром О. ОК - радиус окружности и перпендикулярен касательной по определению. Более того, он проходит через середину хорды АВ и перпендикулярен ей.
Доказательство: АВ параллельно касательной К, следовательно ОК перпендикулярно АВ, поскольку перпендикулярно касательной. Соединим О с концами хорды АВ и получим равнобедренный треугольник АВО, в котором высота ОК является одновременно и медианой, т.е хорда АВ делится пополам.
Следовательно отрезок соединяющий точку касания и точку пересечения хорды с радиусом ОК является искомым расстоянием. Обозначим точку пересечения хорды АВ с радиусом ОК через D. Тогда нам надо найти отрезок КD.
Рассмотрим треугольник АОD. Он прямоугольный. АО - гипотенуза и равна 65 по условию, т.к. она радиус. АD - катет и равен половине АВ, т.е. 63.
 Далее по теореме Пифагора находим второй катет - АО.
И находим расстояние. Это будет ОК-АО.