У танка форма цилиндра, высота которого — 4 дм. Танк наполовину наполнен жидкостью, объём которой — 32π дм3. Сколько дм будет составлять высота уровня жидкости в танке, если танк повернуть горизонтально? ответ: высота равна _ дм.

R=4 дм

Объяснение:

1)Высота полного цилиндра равна 4 дм, а он наполовину наполнен, т.е H/2=2 дм.

2)HR^2=32

2R^2=32

R^2=16

R=4 дм

                                   обозначим
А - (см) - катет 1, против известного угла
Б - (см) - катет 2, соприкасается с известным углом
С - (см) - гипотенуза

1) Определить значение тангенса угла ТАН (известный угол)

2) Определить длину неизвестного катета через тангенс ТАН (известный угол) = А / Б
- если известен катет (А) лежащий против известного угла, то находишь катет Б
Б = А / ТАН (известный угол)
- если известен прилежащий катет (Б) к известному углу, то находишь катет А
А = Б * ТАН (известный угол)

3) Определить по теореме Пифагора длину гипотенузы (С) - С^2 = А^2 + Б^2,
откуда С = корень квадратный из ( А^2 + Б^2)

4) Определить ПЕРИМЕТР = А+Б+С (см)

5) Определить ПЛОЩАДЬ треугольника равную половине произведения его катетов. т. е. S = ( 1/2 х А х Б ) (кв. см)

1) Расположим куб в системе координат так, как показано на рисунке. Точка А - совпадаем с началом координат. Тогда координаты  вершин
А(0;0;0) ;  В(0;1:0) ;  С(1; 1; 0)  ;   D(1; 0; 0) ;  В₁(0;1;1)
Координаты точки М (1; 1/2; 1/2)
Координаты векторов
   
Скалярное произведение равно 0, значит векторы ортогональны, прямые AM и B₁D перпендикулярны
Найдем координаты середины отрезка В₁D  - точки  K

K(1/2; 1/2;1/2)
Найдем координаты середины отрезка АМ - точки Е

E=(1/2; 1/4:1/4)

ответ. 1) прямые АМ и В₁D перпендикулярны, угол между ними 90°.2) расстояние между серединами отрезков АМ и В₁D  равно

Задача 2. ( см. рис. 2)
В грани ОХZ - квадрат, все стороны которого 1. Диагональ квадрата ОВ имеет длину √2 и легко находится по теореме Пифагора 1²+1²=2²
В прямоугольном треугольнике АВО  угол АВО равен 30°, угол АОВ равен 90°, так как ось оу перпендикулярна плоскости ОХZ.
В прямоугольном треугольнике против угла в 30° катет в два раза меньше гипотенузы. Пусть ОА=y, тогда АВ=2y
По теореме Пифагора АВ²=АО²+ВО²
(2y)²=y²+(√2)²  ⇒  3y²=2    ⇒
ответ.

Задача 3.
Так как векторы а и b коллинеарны, то их координаты пропорциональны.
Вектор a  имеет координаты (6k; 8k;-7,5k), где k- коэффициента пропорциональности
Так как угол между векторами a   и j  -  тупой, значит их скалярное произведение отрицательно.
Координаты вектора j  - (0;1:0)
Найдем скалярное произведение

Так как k<0, то к=-2
ответ. Вектор a    имеет координаты (6·(-2); 8·(-2);-7,5·(-2)=(-12; -16; 15)