Центр окружности вписанной в равнобедренный треугольник, делит его высоту , проведенную к основанию , на отрезки длиной 34см и 16см. Найти площадь данного треугольника. ​

Дан треугольник АВС: АВ=ВС. O- центр вписанной окружности ВО=34 см, ОН=16 см.

ВН - высота равнобедренного треугольника. ВН=50 см

К, Т.Н- точки касания окружности со сторонами треугольника.

ОК,ОН,ОТ - радиусы вписанной окружности

Найти площадь треугольника.

Решение.

Высота равнобедренного треугольника является и биссектрисой и медианой.

Значит АН=НС

Угол АВН равен углу СВН.

Треугольники КВО и ВОТ равны между собой по катету (ОК=ОТ) и острому углу.

Из равенства треугольников ВК=ВТ

По теореме Пифагора ВТ²=ВО²-ОТ²=34²-16²=(34-16)(34+16)=18·50=900

ВТ=30 см

ВК=ВТ=30 см

Центр вписанной окружности- точка пересечения биссектрис.

Треугольник равнобедренный, угол А равен углу С.

Биссектрисы АО и СО делят эти углы пополам.

Углы КАО, НАО, ТСО, НСО равны между собой.

И треугольники КАО, АОН, НОС, СОТ равны между собой по катету и острому углу.

ОК=ОН=ОТ= r - радиусу вписанной окружности.

Из равенства треугольников АК=АН=НС=СТ= х

Рассмотрим треугольник АВН.

По теореме Пифагора АВ²=АН²+ВН²

(30+х)²=х²+50²

900+60х+х²=х²=2500,

60х=1600

х=80/3

АН=80/3

S=1/2 АС·ВН= АН·ВН=80/3 · 50= 4000/3 кв. см

ответ

120°

Объяснение:

Решение

 Пусть  ∠ABD = ∠ADB = α, ∠BAC = ∠ACB = β.  По теореме о внешнем угле треугольника  ∠BMC = α + β.

 Через точку A проведём прямую, параллельную стороне CD. Пусть эта прямая пересекается с прямой DB в точке K. Треугольник AMK равнобедренный, так как он подобен равнобедренному треугольнику CMD. Значит,  ∠DK = DM + MK = CM + MA = CA,  то есть трапеция AKCD – равнобедренная. Поэтому  CK = AD = BC,  то есть треугольник BCK также равнобедренный (по условию точка K не совпадает с точкой B). Кроме того,

∠KCM = ∠ADM = α.  Рассмотрим два случая.

 1) Точка K лежит на диагонали DB. Тогда ∠KBC = ∠BKC = ∠KMC + ∠KCM = 2α + β.  Отсюда

180° = ∠BMC + ∠MBC + ∠MCB = (α + β) + (2α + β) + β = 3α + 3β.

 2) Точка лежит на продолжении DB за точку B. Тогда  ∠BKC = ∠KBC = ∠BMC + ∠BCM = α + 2β.  Отсюда

180° = ∠KMC + ∠MK + ∠KCM = (α + β) + (α + 2β) + α = 3α + 3β.

 Итак, в любом случае  α + β = 60°.  Следовательно,  ∠CMD = 180° – ∠KMC = 180° – (α + β) = 120°.

По теореме о 3-х углах треугольника: сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. Нам дано два угла по 65 градусов. Чтобы найти третий, необходимо их сложить, и от 180 градусов отнять полученный результат:

180-(65+65)=180-130=50 градусов.

ответ: третий угол равен 50 градусов

Если же, в зависимости от условия, Ваши 2 угла равны в СУММЕ 65 градусов, то следуя из этого получаем:

1)Можно найти по очерёдности 2 угла:

65:2=32,5-по желанию(это каждый угол--1,2)

2) Из теоремы следует:

180-(32,5+32,5)=115 либо же можно записать та:

180-65=115

ответ:3 угол равен 115 градусов