В прямоугольном треугольнике MNK(угол N= 90°)МК = 14см, угол NMK= 30°. С центром вточке Kпроведена окружность. Каким должен быть ее радиус, чтобы: а) окружность касалась прямойMN; b) окружность не имела общих точек с прямойMN; c) окружность имела две общие точки с прямой

Длины диагоналей прямоугольника равны
Диагонали прямоугольника делятся точкой пересечения пополам.
Треугольник, образованный меньшей стороной прямоугольника и половинами диагоналей, равнобедренный, значит в этом треугольнике углы при его основании равны (180° - 80°):2 = 50°
Треугольник, образованный большей стороной прямоугольника и половинами диагоналей, равнобедренный, значит в этом треугольнике углы при его основании равны (180° - (180-80)):2 = 40°
ответ: Углы между диагональю прямоугольника и его сторонами равны 40° и 50°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков на которые она разделила противоположную сторону. Значит имеем равнобедренный треугольник, в котором углы при основании (гипотенузе данного нам прямоугольного треугольника) равны. Но ожин из этих углов - второй острый угол  данного нам прямоугольного треугольника и он равен половине первого острого угла (биссектриса которого нам дана) Значит сумма острых углов нашего прямоугольного тр-ка равна сумме 3-х одинаковых углов, то есть второй острый угол равен 30°.  В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Гипотенуза здесь - это наша биссектриса.  И она  вдвое длиннее катета -второго из отрезков, на которые она разделила противоположную сторону исходного треугольника. Что и требовалось доказать.