Здравствуйте решить 9, 10, 11, 12 задания по геометрии с решением, чтобы ответ сошелся с предложенными в тесте

В треугольнике ABC AC= BC, K - точка пересечения биссектрис треугольника, а O - точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Отрезок OK пересекает сторону AB в точке E и точкой пересечения делится пополам. Найдите углы треугольника ABC.

------

Точка К равноудалена от сторон треугольника, поэтому является центром вписанной окружности. 

Точка О - равноудалена от вершин треугольника и является центром описанной окружности. Точка К лежит на высоте и медиане  к АВ ( на срединном перпендикуляре), точка О лежит на срединном перпендикуляре к АВ, поэтому С, К, Е и О принадлежат одной прямой СО. 

Т.к. отрезок КО пересекает АВ, точка О расположена вне треугольника. 

Высота и медиана СЕ ⊥ АВ и делит его пополам. 

Соединим точки К и О с вершинами А и В. 

В получившемся четырехугольнике АКВО отрезки АЕ=ВЕ, КЕ=ОЕ. 

Треугольники, на которые КО и АВ делят этот четырехугольник, прямоугольные и равны по двум катетам. 

Следовательно, АК=ВК=ВО=АО, и АКВО - ромб.  АВ - его диагональ и делит его углы пополам. 

Пусть ∠ЕАО=α, тогда ∠КАЕ=α, а, так как  АК - биссектриса угла САВ, то ∠САК=∠ЕАК,  и ∠САЕ=2α.

∆СОА - равнобедренный ( по условию ОА=ОС=ОВ).

∠ОСА=∠ОАС=3α. 

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

В ∆ СЕА ∠САЕ+∠АСЕ=5α. 

5α=90°, откуда α=90°:5=18°

∠САВ=∠СВА=2•18°=36°

∠АСВ=180°-2•36°=108°.

3. 1. Неверно. В равнобедренном треугольнике могут совпадать высота и медиана только из одной вершины. Из всех вершин они совпадают только в равностороннем треугольнике. 

3.2. Верно. Если биссектриса делит противоположную сторону на равные отрезки, то она еще и медиана. Такой треугольник равнобедренный. 

3.3. Верно. В равностороннем треугольнике высоты и биссектрисы, проведенные из каждой вершины, совпадают. 

4. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следовательно, FО - биссектриса. 

___

5.  Если АF=FC, то BF- еще и медиана. Высота и медиана совпадают в равнобедренном треугольнике.⇒ ВС=ВА=7 см.

6. EF = FK, BF – высота⇒

 Треугольник КВЕ равнобедренный. Решения нет, по одной только высоте найти основание треугольника нельзя. 

7. Основание равно разности между периметром и суммой боковых сторон. 12-(5+5)=2 см.

Подробнее - на -

Объяснение: