Ребята решите задание: Какая точка О-центр круга, описанная около равностороннего треугольника АВС, OF перпендикулярно АВ, ОК перпендикулярно ВС. Установите, которому отрезке равна отрезок АF?

ответ: 600 см²

Объяснение: В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Ромб - параллелограмм, все стороны которого равны. Примем одну его диагональ равной х, тогда вторая - х+10.

4•25²=х²+(х+10)² ⇒ 2х²+20х-2400=0. Сократив все члены уравнения на 2, получим приведенное квадратное уравнение х²+10х-1200=0.

D=b²-4ac=10²-4·1·-1200=4900;  дискриминант положительный. ⇒ уравнение имеет два корня. х=(-b±√D):2 ⇒ х₁=30, х₂=-40 ( не подходит).

d₁=30 см, d₂=30+10=40 см

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

S=0.5•d₁•d₂=30•40:2=600 см²

Диагонали в этой задаче можно найти по т.Виета: .Сумма корней приведенного квадратного трехчлена равна его второму коэффициенту  с противоположным знаком, а произведение - свободному члену. ⇒ х₁+х₂=-10;   х₁•х₂=1200 х₁=30, х₂=-40.

В задании, очевидно, надо понимать фразу так: расстояние от  СТОРОНЫ основания до противолежащей боковой грани равно 5 корень из 3.

Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получим равнобедренный треугольник, углы α при основании которого равны двугранным углам пирамиды, а высота Н равна высоте пирамиды.

Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды.

Находим синус угла при основании треугольника:

sin α = 5√3/10 = √3/2. Значит, α = 60°.

Отсюда находим высоту пирамиды Н = 5*tg 60° = 5√3.

Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*10²*5√3 = 500√3/3 куб.ед.