Вписане в рівнобедрений трикутник коло ділить бічну сторону у відношенні 4:5 починаючи від основи.Знайдіть сторони трикутника якщо його периметр дорівнює 52 см

Объяснение:

Уявімо собі трикутник АВС з основою АС, вписане коло з центром О. Ця окружність буде стосуватися до сторони АВ в точці М, а до основи АС в точці Р. За умовами - АМ: МВ = 4: 5

Периметр  трикутника: P=AB+BC+AC=52

Розглянемо трикутники АМО і АРО:

Кути М=Р=90 (це радіуси кола), отже ОМ=ОР, АО - загальна сторона.

Отже трикутник АМО=АРО і отже АР=АМ АР:МВ=4:5

Визначимо одиницю пропорції як х, тобто АР:МВ=4:5=4х:5х

AB=BC=4x+5x за умовами

AC=4x+4х

2(4x+5x)+(4x+4x)=52

8x+10x+8x=52

26x=52

x=2

AB=BC=4*2+5*2=18

AC=4*2+4*2=16

ответ: 26

Объяснение:

Пусть r -- радиус вписанной окружности в ΔBCP, а R --  радиус вписанной окружности в ΔBAC

1.

tg∠BAC = 12/5, откуда по определению тангенса

Пусть BC = 12x, тогда AC = 5x

По теореме Пифагора найдём AB:

2.

tg∠CAP = 12/5, по определению тангенса из ΔACP

Пусть CP = 12y, тогда AP = 5y

Составим уравнение с теоремы Пифагора в ΔACP и выразим y через x:

Отрицательным y быть не может, так как он выражает длину отрезка, следовательно y = 5x/13, откуда

3. Выразим через x сторону BP, периметр и площадь ΔCPB:

4. Используя формулу площади через радиус вписанной окружности составим уравнение:

5. Используя найденный x, вычислим периметр и площадь ΔABC:

PΔabc = AB + BC + AC = 13x + 12x + 5x = 30x = 30*13

SΔabc = 1/2 * AC * CB = 1/2 * 5x * 12x = 30x² = 30*13²

6. Найдём R, составив уравнение по формуле S = P/2 * R

1. Pabcd = 40 дм.  2. Sabc = 512 см².

Объяснение:

1. Свойство: Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. Следовательно, треугольник COD - прямоугольный, так как сумма его острых углов равна 90° (так как в трапеции <C + < D = 180°,   =>  (1/2)*(<C+<D) =90°).

Тогда по Пифагору CD = √(OC²+OD²). Или

CD =  √(36+64) = 10 дм.  АВ = CD = 10 дм.

АВ+CD = 20 дм.

Свойство: Если в трапецию вписана окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. Следовательно,  периметр нашей трапеции равен AB+CD+ BC+AD = 4*10 =40 дм.

2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам. Тогда в прямоугольном треугольнике ОВР косинус угла ОВР равен отношению прилежащего катета ВР к гипотенузе ОВ.

ВР = 16√5/2 = 8√5см. ОВ = 20 см.

Cos(<OBC) = 8√5/20 = 2√5/5.

В прямоугольном треугольнике ВНС катет

ВН = ВС*Cos(<OBC) = 16√5*(2√5/5) = 32cм.

Площадь этого треугольника равна Shbc = (1/2)*BH*BC*Sin(<OBC).

Sin(<OBC) = √(1 - Cos(<OBC))  =  √(1-20/25) = 1/√5.  Тогда

Shbc = (1/2)*32*16√5*(1/√5) = 256 см². Это половина площади треугольника АВС (так как ВН - высота и медиана). Значит

Sabc = 2*256 = 512 см².