1) две окружности имеют внешнее касание , а расстояние между их центрами равно 16 см. найдите радиусы этих окружностей, если они пропорциональны числа 3 и 5. 2)угол между двумя радиусами окружности равен 130 градусов.найдите угол между касательными, проведёнными через концы этих радиусов. 3) около треугольника авс с углами а= 30 градусов и угол в= 60 градусов описанна окружность найдите её радиус если ав =10 см

1)

обозначим коэффициент отношения радиусов хтогда один радиус равен 3х,второй - 5х3х+5х=168х=16х=23х= 6 см - это первы радиус5х*2=10см - это второй радиус2)

в четырехугольнике сумма его углов равна 360 градусов.два угла между касательными и радиусами равны по 90 градусов и сумма их 180 градусов. угол между касательными равен 180-130 =50 градусов3)

треугольник с такими углами - прямоугольный. 

центр описанной окружности лежит на его гипотенузе, и радиус окружности равен половине аврадиус 10: 2=5 см

1) вектор AD (-6 - (-3); -3 - 5; 0 - (-6) ) = (-3; -8; 6)

координаты вектора находятся как разность координат конца и начала вектора

2) Расстояние между точками B и D это длина вектора BD

Вектор BD( -6 - 5; -3 - (-2); 0 - 4) = (-11; -1; -4)

Длина вектора это квадратный корень из суммы квадратов координат вектора т.е. \sqrt{ (-11)^{2} + (-1)^{2} + (-4)^{2} }

(−11)

2

+(−1)

2

+(−4)

2

= \sqrt{138}

138

3) Координаты середины отрезка это полусумма координат концов отрезка. Т.е.

точка М ( (-3+5)/2; (5 + (-2))/2 ; (-6+4)/2 ) = (1; 1,5; -1)

4) Произведение векторов AB и CD это сумма произведений их координат.

Сначала найдем вектора.

AB (5-(-3); -2-5; 4-(-6)) = (8;-7; 10)

CD (-6-0; -3-4; 0-3) = (-6; -7; -3)

Теперь перемножим координаты векторов и сложим их

AB * CD = 8*(-6) + (-7)*(-7) + 10*(-3) = -48+49-30 = -29

5) Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Как уже было найдено в п4

AB (8;-7; 10) , CD (-6; -7; -3) и AB * CD = -29

Модуль |AB| равен \sqrt{ 8^{2} + (-7)^{2} + 10^{2} } = \sqrt{213}

8

2

+(−7)

2

+10

2

=

213

Модуль |CD| равен \sqrt{ (-6)^{2} + (-7)^{2} + (-3)^{2} } = \sqrt{ 94 }

(−6)

2

+(−7)

2

+(−3)

2

=

94

Тогда cos( \alpha ) =cos(α)= AB * CD / |AB| * |CD| = \frac{-29}{ \sqrt{213} * \sqrt{94} }

213

∗

94

−29

что приблизительно равно -0,204948276

6) Аналогично пункту 5

Угол между векторами можно найти из формулы векторного произведения векторов, которое равно произведению модулей векторов на косинус угла между ними.

Как уже было найдено ранее

вектор AD (-3; -8; 6)

Найдем вектор ВС

Вектор ВС (0-5; 4-(-2); 3-4) = (-5; 6; -1)

Теперь найдем AD * ВС = (-3)*(-5) + (-8)*6 + 6*(-1) = -39

Модуль |AD| равен \sqrt{ (-3)^{2} + (-8)^{2} + 6^{2} } = \sqrt{109}

(−3)

2

+(−8)

2

+6

2

=

109

Модуль |ВС| равен \sqrt{ (-5)^{2} + 6^{2} + (-1)^{2} } = \sqrt{ 62 }

(−5)

2

+6

2

+(−1)

2

=

62

Тогда cos( \alpha ) =cos(α)= AD * ВС / |AD| * |ВС| = \frac{-29}{ \sqrt{109} * \sqrt{62} }

109

∗

62

−29

что приблизительно равно -0,352767774

7) Вектор BD уже был найден BD(-11; -1; -4)

Вектор CB= - ВС = (5; -6; 1)

Найдем вектор AC (0-(-3); 4-5; 3-(-6) ) = (3; -1; 9)

Найдем сумму векторов AC и BD

AC(3; -1; 9) + BD(-11; -1; -4) = (3 + (-11); -1 + (-1); 9 + (-4) ) = (-8; -2; 5)

Теперь найдем произведение этого вектора на CB(5; -6; 1)

Произведение векторов равно (-8; -2; 5) * (5; -6; 1) = (-8)*5 + (-2)*(-6) + 5*1 = -23

8) Условие коллинеарности это пропроциональность координат векторов (если они не равны нулю)

В нашем случае AB(8;-7; 10) и CD(-6; -7; -3) не имеют нулевых координат, значит можно проверить на пропорциональность.

Очевидно

\frac{8}{-6} \neq \frac{-7}{-7} \neq \frac{10}{-3}

−6

8



=

−7

−7



=

−3

10

Следовательно вектора не коллинеарны.

На меньшем основании вс=а равнобочной трапеции авсд построен правильный треугольник вкс. большее основание ад=b. площадь треугольника вкс sвкс=а²√3/4, его высота h = а√3/2. площадь трапеции saвсд=1/2*(а+b)*h=1/2(a+b)*a√3/2=a(a+b)√3/4. по условию saвсд=5sвкс, тогда а(а+b)√3/4=5a²√3/4; a+b=5a, b=4a. опустим в трапеции высоту вн, тогда в равнобедренной трапеции ад =2ан+вс или ан=(ад-вс)/2=(b-a)/2=(4a-a)/2=3a/2. из прямоугольного треугольника авн найдем tg a=bh/ah=a√3*2/2*3a=√3/3. значит < а =30градусов