Диаметр окружности с центром О пересекается с хордой АВ в точке С, ОС = 5 см. Расстояние от центра окружности до хорды равно 3 см. Найдите АС, если АВ = 20 см. ответ запишите без единиц измерения.

Ромб ABCD, его высота ВМ=8, диагонали перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам.
Пусть сторона ромба равна а, половины диагоналей равны Х и Y.
Площадь ромба - произведение стороны на высоту, высота=8.Тогда Sр=8а.
Площадь треугольника DОС, образованного половинами диагоналей и стороной, равна 1/4 площади ромба, то есть 2а.
Тогда имеем: Х+Y+а=10 (периметр треугольника DОС) или
X+Y=10-a. В треугольнике DOC: X²+Y²=a² (по Пифагору). Sdoc=8а/4=2а.
Но Sdoc = (1/2)Х*Y, отсюда Х*Y=4а.
Итак, имеем:
 (1) X+Y=10-a
 (2) X²+Y²=a²
 (3) X*Y=4a.
Возведем (1) в квадрат, тогда (X+Y)²=(10-a)² или Х²+2ХY+Y²=100-20a+a².
Вставим сюда (2) и (3):  а²+8а=100-20a+a² или 28а=100, отсюда а=25/7.
Тогда периметр ромба равен 4*25/7=100/7 = 14и2/7.

Равнобедренная трапеция АВСД: боковые стороны АВ=СД=х,
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции r=h/2
По условию ВС=h/2, значит ВС=r
Высота трапеции ВH=h=2r делит основание на отрезки АН=у и НД=ВС+у=r+у
АД=АН+НД=у+r+у=r+2у
Т.к. в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны, то АВ+СД=ВС+АД
АВ=(ВС+АД)/2=(r+r+2у)/2=r+у
По т.Пифагора из прямоугольного ΔАВН:
АВ²=АН²+ВН²=у²+4r²
(r+у)²=у²+4r²
r²+2rу+у²=у²+4r²
2rу=3r²
у=3r/2
АД=r+2*3r/2=4r
Площадь трапеции S=(АД+ВС)*ВН/2=(4r+r)*2r/2=5r²
ответ: 5r²