169. На рисунке 82, а луч BF - биссектриса углаАВС, а ZADF = 2CDF, De BF. Вычислите длину от-резка BC, если AB = 3 см.​

а) BC1 || AD1, поэтому угол между прямыми AB1 и BC1 равен углу между AB1 и AD1.

ребро куба равно а, поэтому (так как грани куба - квадраты), то AB1=AD1=B1D1, а значит треугольник AB1D1 - правильный(равносторонний),

углы равностороннего треугольника равны 60 градусов,

значит искомый угол между прямыми AB1 и BC1 равен 60 градусов

б)   так как В1С1 - перпендикуляр с точки С1 на грань АА1В1В, то угол между прямой AC1 и гранью AA1B1B равен углу В1АС1

(треугольник АВ1С1 - прямоугольным с прямым углом АВ1С1)

по свойству диагонали квадрата

по свойству диагонали куба

угол В1АС1 равен  arccos корень(2/3)т.е.

угол между прямой AC1 и гранью AA1B1B равен  arccos корень(2/3) градусов

         1) Каково взаимное расположение прямых EF и AB? 

(Уточняем -  в плоскости α лежит только АД, а ВС - не лежит).

ВС параллельна АD ⇒ параллельна плоскости α.

АD параллельна  ВС, ЕF параллельна ВС.  Две прямые , параллельные третьей прямой, параллельны. ⇒

  ЕF ║ АD и параллельна плоскости АВСD, но не параллельна АВ, которая пересекается с АD. ⇒

 Прямые EF и AB - скрещивающиеся.

     2) Чему равен угол между прямыми EF и AB, если ABC = 150°?

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. 

Сумма углов при боковой стороне трапеции 180°, следовательно, ∠ВАD=180°-150°=30°.

Проведем в плоскости ВЕF прямую ЕК║ АВ.

 ЕК|║АВ;  ЕF║АD  Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.⇒

 ∠FЕК=∠ВАD=30°

-----------

ВЕ и СF могут быть проведены в плоскости АВСD. 

Тогда ЕD будет лежать на АD и в этом случае непараллельные прямые EF и АВ лежат в одной плоскости. Тогда АВ  и  EF пересекyтся.