Какие утверждения верны В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон

1. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Верно. Это свойство параллелограмма.

2. Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой. -

Неверно. Только та медиана, которая проведена к основанию.

3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон. -

Верно. Это теорема Пифагора.

1)координаты вектора М1М2

x=1-2=-1

y=-4-(-3)=-1

d=√(x^2+y^2)=√((-1)^2+(-1)^2))=√2

сosα=x/d=-1/√2=-√2/2

sinα=y/d=-1/√2=-√2/2

и синус и косинус отрицательны в третьей координатной четверти, поэтому α=pi/4+180=pi/4-180=5pi/4=-3pi/4=-135 градусов

2)M3M1

x=-1-2=-3

y=-7-(-3)=-4

d=√((-3)^2+(-4)^2)=√25=5

sinα=-3/5=-0.6; cosα=-4/5=-0.8

α≈-143 градуса

3)M2M4

x=-4-2=-6

y=8-(-3)=11

d=√(36+121)=√157

sinα=-6/√157; cosα=11/√157-это четвертая координатная четверть

α≈-29 градусов

4)M4M3

x=-1-(-4)=3

y=-7-8=-15

d=√(9+225)=√234

sinα=3/√234; cosα=-15/√234-вторая координатная четверть

α≈169 градусов

Задача 4 
К окружности с центром в точке О проведены из точки В касательные АВ и ВС (А и С - точки касания), Окружность пересекает отрезок ОВ в точке Т. ∠АВТ=30°. Доказать, что Т - точка пересечения биссектрис ∆ АВС.
----------------------------------------------------
 Нарисуем окружность и касательные ВА и ВС. 
Соединим А и С с центром окружности и с точкой В.
АВ=ВС как отрезки касательных из одной точки, 
АО=ОС - радиусы, 
ОВ - общая сторона.  
∠ОВС=∠АВО=30°. 
Точка Т лежит на ВО 
ВО -  гипотенуза треугольника, в котором
катет, противолежащий углу 30°, равен R. 
ОТ - радиус => ВТ=ОТ.
Проведем АК и СР через точку Т до пересечения с АВ и АС.
Треугольники АОТ и ТОС образованы радиусами, они равнобедренные и равносторонние, так как центральные углы в них являются и углами прямоугольных треугольников, в которых один из острых углов ( при В) равен 30°. 
Следовательно, центральные углы АОТ и ТОС равны 60°.
АС диагональ ромба и является биссектрисой углов ромба АОСТ.=>
∠ ТАС=∠ТСА=30° и отсюда СР и АК - биссектрисы углов А и С. 
Но и ВМ биссектриса треугольника АВС.  
Точка Т является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС. 
==================================================================
Задача 5
Вершины А, В, С и Д куба АВСДА₁В₁С₁D₁ лежат на окружности. Точкa О - середина ребра АD. Хорда окружности проходит через точку О и параллельна отрезку АС . Вычислить длину этой хорды, если площадь поверхности куба равна 384 см²
---------------------------------------
Обозначим концы хорды К и Р 
Проведем в окружности диаметр ВD, который  является хордой и диагональю  вписанного  квадрата.
Хорда КР делит диаметр на две части ВМ и МD.
Так как КР содержит среднюю линию треугольника АDС,
высота треугольника=радиус ЕD разделен в точке М пополам.
MD=1/4 диаметра окружности,
ВМ=3/4 диаметра 
Произведения отрезков каждой хорды, получившихся при  пересечении этих хорд, равны. 
Диагонали квадрата при пересечении делятся пополам и перпендикулярны друг другу.  
Хорда параллельна диаметру. 
Диаметр делит хорду, к которой он перпендикулярен, пополам. 
Пусть КМ=МР=х 
Тогда х²=1/4 D×3/4 D=(3/16)D
 х=0,25√3 D  
КР=2х=0,5√3 D  
Длина диаметра окружности равна диагонали грани куба. 
Ребро куба найдем из площади его поверхности. 
Граней у куба 6, площадь каждой а²=384:6=64см²  
Ребро куба равно а= √64=8см  
Диагональ грани равна 8√2см  (d=a√2 )
Длина хорды КР=(0,5√3)×8√2= 4√6 см