Перпендикуляр проведений із вершини прямого кута трикутника, ділить гіпотенузу на відрізки 9 і 16. Знайдіть катет трикутника.чем быстрее тем лучше ❤​

Объяснение:

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу, перпендикуляр – це висота до гіпотенузи, вся гіпотенуза 9 + 16 = 25 (см). Нехай АВС прямокутний трикутник, СD – висота, AD = 9см ,DB = 16 см.,

тоді AC² = AD·AB,

AC = √9·25  = 15 см

BC² = BD·AB,

BC = √16·25  = 20 см

Известно, что отрезок высоты от вершины до ортоцентра (то есть до точки пересечения высот) в два раза больше расстояния от центра описанной окружности до противоположной стороны. 
В нашем случае, если из центра O описанной окружности опустить перпендикуляр OD на AC, то OD=OB/2=1/2. 

Далее, ∠C_1HA_1=∠AHC=105° как вертикальные, а поскольку 
∠BC_1H=∠BA_1H=90°⇒
∠C_1BA_1=360°-90°-90°-105°=75°. Поскольку этот угол является вписанным в описанную вокруг треугольника ABC окружность, а угол AOC - центральным и опирающимся на ту же дугу⇒∠AOC=2·75=150°,
а ∠AOD=(1/2)AOC=75°.

Наконец, ΔAOD прямоугольный, AO гипотенуза, равная радиусу описанной окружности⇒OD/R=cos 75°⇒
R=OD/(cos 45°+30°)=(1/2)/(cos 45°cos 30°- sin 45° sin 30°)=
1/((√6-√2)/2)=2(√6+√2)/(6-2)=(√6+√2)/2

Факт, приведенный в начале решения, слишком интересен сам по себе, чтобы приводить доказательство здесь. Присылайте запрос, и я, когда будет время, докажу этот факт

На основе задания делаем вывод: треугольник КОМ - прямоугольный с соотношением катетов 2:1.
Обозначим КО = 2х. а МО = х.
Тогда по Пифагору 40² = х²+(2х)².
5х² = 1600,
х² = 1600/5 = 320,
х = √320 = 8√5.

Точка О делит медианы в отношении 2:1 от вершины.
Находим МО = 8√5, КО = 2*8√5 = 16√5.
Отрезок ОК1 по свойству медианы равен 1/2 КО и равен 8√5.
То есть, треугольник МОК1 - прямоугольный равнобедренный.
МК1 = К1N = x√2 = 8√5*√2 = 8√10, а сторона MN = 2*8√10 = 16√10.

Последнюю неизвестную сторону находим по теореме синусов.
Находим угол MКO.
tg<MKO = x/2x = 1/2.
<MKO = arc tg(1/2) =  0,463648 радиан = 26,56505°.
 Находим угол ОКМ1. OM1 = (1/2)MO = 8√5/2 = 4√5.
tg<ОКМ1 = ОМ1/OK = 4√5/16√5 = 1/4.
<ОКМ1 = arc tg(1/4) =  0,244979 радиан = 14,03624°.
Угол К равен сумме МКО и ОКМ1:
 <К = 26,56505° + 14.03624° =  40,60129°.
Находим угол N.
sin N/40 = sin K/(16√10),
sin N = 40*sin K/16√10 = 40* 0,650791/16√10 =  0,514496.
Угол N = arc sin 0,514496 =  0,54042 радиан = 30,96376°.
Угол В = 180°-<K-<N = 180°- 40,60129° - 30,96376° =  108,4349°.
KN = sin M*40/sin N =  0,948683*40/0,514496 =  73,75636.
Периметр треугольника равен  164,3528026.