1. Уральские горы. На каком материке располагаются……….. В какой его части (относительно всего материка)…………………………..В какой стране…………….. 2. А) Уральские горы на севере граничат с ……морем, на юге граничат с ………морем-озером, на западе граничат с …………равниной, на востоке граничат с……….равниной. Б) Определяем протяженность гор с севера на юг в КМ. (Определяем примерно по шестидесятому меридиану от берега ……… моря до берега…….. моря-озера с линейки и именованного масштаба карты. Полученное расстояние в СМ умножаем на именованный масштаб карты: в 1см….км В) Определим протяженность гор в градусной мере по широте с севера на юг. Определим широту гор в градусной мере от берега …….. моря на севере (……….с.ш.) до берега ……….. моря-озера на юге (……..с.ш.). Теперь из большего значения вычтем меньшее и получим протяженность гор с севера на юг в градусной мере. Г) Протяженность гор с запада на восток неравномерная: на севере узкая полоска, приблизительно………КМ (с линейки и масштаба карты измерим по прямой от г. Воркута до правого склона гор. Полученное расстояние в СМ умножаем на именованный масштаб карты). К югу протяженность расширяется до……..КМ (с линейки и масштаба карты измерим по прямой самую широкую часть гор с западного склона до восточного склона. Полученное расстояние в СМ умножаем на именованный масштаб карты). 3. Определяем по шкале высот в легенде карты, какова средняя высота гор от…. М до ….М. Называем их наивысшую точку – гора……… 4. Её высота………..М. Определим географические координаты г. Народной (…..с.ш., ….в.д.). По направлению течения рек установим, в каком направлении происходит понижение рельефа. 5. Реки, берущие начало в горах: Я понимаю что дофига писать но я тупой как валенок.

А) ∠( AC, AB) = 90°, т.к. угол между сторонами квадрата равен 90°;

б) Переносим параллельным переносом вектор DA так, чтоб его начало было в точке А.
Тогда угол между векторами DA и AB равен 90° + 45° = 135°;

в) ∠(OA, OB) = 90°, т.кю угол между диагоналями квадрата равен 90°;

г) (тут то же самое, что и под буквой в);

д) Аналогично ∠(OA, OC) = 90°, т.к. угол между диагоналями равен 90°;

е) Векторы AC и BD сонаправлены, значит, угол между ними равен 0°.

ж) Переносим вектор DB параллельным переносом так, чтоб его начало совпадало с точкой А.
Тогда ∠(AD, DB) = 135°.

з) Переносом вектор OC параллельны переносом так, чтоб его начплао совпадало с точкой А.
Угол между векторами остался таким жеч как и угол между диагоналями, т.е. 90°.

Эту задачу я решал 100 лет назад, и как тогда, так и сейчас, совсем простого решения не нашел.

С разрешения уважаемого автора задачи введу свои обозначения. ΔABC, ∠ABC=120°, биссектрисы AA_1, BB_1, CC_1;
AB=c, BC=a,CA=b; CA_1=m, BA_1=n, CB_1=k

Для решения нам понадобятся следующие факты (подозреваю только, что в начальной школе они не проходятся. Но может быть я отстал от жизни :-))

1. Биссектриса в треугольнике делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам. Более того, эти отрезки несложно выразить через стороны. Так, m=(ab)/(b+c); n=(ac)/(b+c);
k=(ba)/(a+c) (когда-нибудь я научу Вас, как писать эти формулы не только без неприязни, но с улыбкой на устах).

2. Обратный факт: если отрезок, соединяющий вершину с какой-то точкой противоположной стороны, делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам, то он является биссектрисой.

3. Длина биссектрисы (скажем BB_1) может быть вычислена по формуле
                            BB_1=(2cos (B/2)ac)/(a+c).

В частности, если угол B равен 120°, эта формула превращается в
BB_1=(ac)/(a+c).

Переходим к непосредственному решению.

AA_1 - биссектриса⇒m/n=b/c

BB_1=(ac)(a+c)

Соединим точки B_1 и A_1. докажем, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C. для этого достаточно доказать, что m/n=k/BB_1.

В самом деле, k/BB_1=((ba)/(a+c))/(ac/(a+c))=b/c.
Но ведь и m/n=b/c! Значит, мы доказали, что B_1A_1 - биссектриса угла BB_1C.
Точно так же получается, что B_1C_1 - биссектриса угла BB_1A.

Осталось сослаться на то, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны. Итак, угол A_1B_1C_1 - прямой.

Замечание. Можно доказательство провести совсем по-другому, и намного быстрее. Но как показывает мой опыт, самостоятельно выйти на второй намного сложнее, чем на первый.

Итак, второй

Продолжим сторону AB за вершину B; поставим где-нибудь там точку D. Угол CBD равен 180°-120°=60°⇒BC является биссектрисой угла DBB_1, то есть внешнего угла треугольника ABB_1. Эта биссектриса пересекается с BC в точке A_1⇒ биссектриса еще одного внешнего угла треугольника ABB_1 - угла BB_1C - проходит через ту же точку A_1. Вот мы и доказали требуемое.

за то, что напомнили про те времена, когда такие задачи были мне в новинку. Надеюсь, что Вы получили удовольствие от обоих доказательств. Искренне Ваш