Завдання 1. Із точки до площини проведено перпендикуляр і похилу, що відповідно дорівнюють: 9см і 15см. Знайти: довжину проекції похилої; величину кута між похилою та площиною. Завдання 2. ОМ є перпендикуляром до площини квадрата АВСД, де точка О – точка перетину діагоналей квадрата. Знайти відстань: від точки М до сторони квадрата, якщо АВ = 10см, ОМ=6см; від точки М до вершини квадрату. Завдання 3. Точка А відрізка АВ довжиною 16см лежить у площині а, точка В належить площині в. Площини а і в перпендикулярні. Знайти довжину відрізка СД на ребрі двогранного кута, якщо віддалі від точок А та В до ребра кута відповідно рівні 6см і 8см.

ответ:нехай АВ перпендикуляр, АС=20 см - похила, тоді ВС - проекція, а кут АСВ=60°.

Так як ∆АВС прямокутний, кут АСВ=90°, то АВ - катет, протилежний до заданого кута, отже АВ=АС*sin 60°=20*(√3)/2=10√3.

Объяснение:

Х₁ = (-3-1)/2 = -4/2 = -2 
у₁ = (-2+2)/2 = 0/2 = 0    
М(-2;0) - координаты середины стороны АВ

х₂=(-1+2)/2 = 1/2=0,5
у₂ =(2+2)/2 = 2 
К(0,5; 2 ) - координаты середины стороны ВС

х₃ = (2+4)/2 = 6/2 = 3 
у₃= (2-2)/2 = 0/2 = 0    
Р(3;0) - координаты середины стороны CD

х₄ = (-3+4)/2 = 1/2 = 0,5 
у₄= (-2-2)/2 = -4/2 = -2   
О(0,5;-2) - координаты середины стороны АD

2) найдем длины отрезков:
МК = √((0,5-(-2))²+(2-0)² = √10,25
КР =√(3-0,5)²+(0-2)² = √10,25
РО = √(0,5-3)²+(-2+0)² = √10,25
МО=√((0,5-(-2))²+(-2-0)² = √10,25

Длины всех сторон четырехугольника МКРО равны между собой, значит МКРО - ромб

Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r.
На катетах отрезки от острого угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7.
Тогда катеты равны r+3 и r+7.
По Пифагору (r+3)² + (r+7)² = 10².
r²+6r+9+r²+14r+49 = 100.
2r²+20r-42 = 0,
r²+10r-21 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант:
D=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=100-(-4*21)=100-(-84)=100+84=184;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5 ≈1,78233;r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5 ≈ -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем.
Определяем катеты:
а = √46-5+3 = √46-2,
в = √46-5+7 = √46+2.
Площадь S треугольника равна:
S = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*(√46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.