Требуется доказать что угол КАМ =КСМ если угол 1 равен углу 2, АК=СК. ВЕРНО ЛИ СЛЕДУЮЩЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСВТО: треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно АВ=СВ, а значит треугольник АВС- равнобедренный угол ВАК=угол ВСК. Таким образом: угол КАМ=ВАМ-ВАК=ВСМ-ВСК=КСМ

Вообще небольшая ошибка. На рисунке угол 80 градусов, а в условии 90

1. Если угол 80 градусов:

Точки A и B являются касательными к окружности. Радиус, проведенный к точке описанной окружности образует с касающей угол 90 градусов, то есть углы OAC и OBC равны по 90 градусов.

Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов. Мы знаем 3 угла, нам нужно найти 4-ый.

Угол ACB = 360 - 80 - 90 - 90 = 100 градусов

2. Если угол 90 градусов:

Точки A и B являются касательными к окружности. Радиус, проведенный к точке описанной окружности образует с касающей угол 90 градусов, то есть углы OAC и OBC равны по 90 градусов.

Сумма углов четырёхугольника равна 360 градусов. Мы знаем 3 угла, нам нужно найти 4-ый.

Угол ACB = 360 - 90 - 90 - 90 = 90 градусов

Указанные углы - внутренние односторонние. Их сумма - 180°.
Обозначим меньший угол AMN за х, а CNM - 3x.
х+3х = 180     4х = 180    х = 18/0 / 4 = 45° - угол AMN,
3х = 3*45 = 135° - это угол CNM.
Из 8 углов они повторяются - Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы  и  — вертикальные. Очевидно,вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы  и ,  и  — тоже вертикальные.

Углы  и  — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна 180° .

Углы  и  (а также  и ,  и ,  и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны. 
, 
,