№1. В прямоугольном треугольнике ABC с углом А, равным 30°, к гипотенузе АС проведена высота ВН. На стороне ВС выбрана точка К так, что КС=НС. лучи АВ и НК пересекаются в точке N. Найдите отношения отрезков АН и КN. №2. Через вершину В треугольника АВС провели прямую L, параллельную АС. Биссектриса угла ВСА пересекает прямую L в точке D. Точка К такова, что В- середина DK. Докажите, что треугольник CDK- прямоугольный. (P.s Рисунков у заданию нет)

Достаточно нарисовать чертёж и тогда сразу поймете, как решить)

Объяснение:

1) используя т. Менелая.

Так как в параллелограмме противоположные углы всегда равны, то угол a= углу c, а угол b=углу d.

1) если а = 80, то и с=80. Сумма углов параллелограмма =360 градусов, значит углы b и d в сумме составляют 200 градусов, а по отдельности по 100, так как они равны.

А=С=80 градусов

B=D=100 градусов

2)так как односторонние углы (a,b / c,d) составляют в сумме 180 градусов, то угол а= 75 градусов, а угол b=105 (105+75=180/ 105-75=30)

А=С=75 градусов

B=D=105 градусов

3)так как углы а и с равны и в сумме дают 140, то по отдельности угол а и угол с = 140:2=по 70 градусов каждый

А=С =70

B=D = 110

4)угол B в два раза больше угла а, а в сумме они дают 180 градусов, следовательно, угол а=60, а угол B =60*2=120

А=С=60

B=D =120

5) проведём диагональ от угла B к углу D, получился треугольник. Он прямоугольный, так как один из угол =90 градусов. Нам дано 2 угла 90 и 30 градусов, значит третий угол (А) равен 60 градусов (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов) . Углы а и с=60, а углы B и D= 360-(60+60)= 240. По отдельности они равны 240:2=120.

А=С=60 градусов

B=D=120 градусов

Около окружности радиуса 4√3 см описан правильный треугольник .На его высоте как на стороне построен  правильный шестиугольник , в который вписана другая окружность. Найдите ее радиус.

Объяснение:

Обозначим радиус вписанной в треугольник окружности r₃=4√3 см. Найдем 1)сторону правильного треугольника ;2) и его высоту :

a₃ = 2r √3 ,   a₃ = 2*4√3*√3=24 (см). Тогда половина стороны 12 см.

По т. Пифагора высота правильного треугольника

h₃=√(24²-12²)=12√3 (см) ⇒ по условию это сторона правильного шестиугольника а=12√3 см.

Найдем радиус вписанной окружности в правильный шестиугольник

r=(а√3)/2  , r=(  12√3* √3)/2  =18 (см)

Примечание Высота в правильном треугольнике  является медианой.