Найти скалярное произведение векторов a=3;-1;2; b=5;3;1

.................................

Пусть  основание прямоугольного параллелепипеда прямоугольник ABCD . 
AB=CB =x ; BC=AD =7x ;AB₁ =BA₁ =CD₁=DC₁=13 см ;AD₁ =DA₁ =BC₁=CB₁ =37 см.
обозн._ высота параллелепипеда AA₁ =BB₁ =CC₁ =DD₁ =h.

Sбок - ? 

S бок  =2(AB+BC)*AA₁ = 2(x+7x)*h =16xh.
По теореме Пифагора для  треугольников ABB₁ и ADD₁:
{ AB²+BB₁² =AB₁² ;  AD² +DD₁²=AD₁². 
{ x²+h² =13² ;  (7x)² +h²=37². 
Вычитаем из второго уравнения  системы  первое
 (7x)² -x² =37² -13²;
48x² =(37-13)(37+13) ;
2*24x² =24*2*25⇒x =5 ;
h =√(13² -5²) =12.
S бок  =16xh =16*5*12 =16*60 =960 (см²).

ответ: 960 см².

Для выпуклого многоугольника есть формула суммы его углов:

S=(180n - 360) или S=180°(n-2). (1)

В нашем случае сумма четырех углов данного многоугольника равна 4*120°=480°, следовательно, S > 480, так как условие подразумевает наличие хотя бы одного острого угла.

У выпуклого многоугольника каждый угол должен быть меньше 180°.

Тогда из формулы (1):

(180n-360 -480)/(n-4) < 180. Решаем это неравенство при условии, что

n - целое положительное число (количество сторон многоугольника) и

n > 4 (на 0 делить нельзя).

Вычтем из обеих частей неравенства 180:

(180n-360 -480)/(n-4) -180< 0. Или

(180n-840 - 180n +720)/(n-4)<0 => -120/(n-4) < 0

Итак, неравенство спроведлмво при любом n > 4, а так как n - целое число, то

ответ: число сторон может быть ЛЮБЫМ, равным или большим 5.

Проверим:

при n=4 сумма S = 180(4-2) = 360, что не соответствует условию.

При n = 5 имеем: S=180*3 = 540° и таким образом, остается острый угол, равный 540°-480°=60°.

При n = 6 сумма углов будет S = 180*4=720° и на два оставшихся угла остается 720°-480° = 240°, что соответствует условию, так как 240:2=120°.

При n = 10 сумма углов будет S = 180*8=1440° и на 6 оставшихся углов остается 1440°-480° = 960°, что соответствует условию, так как 960:6=160°.

При n = 100 сумма углов будет S = 180*98=17640° и на 96 оставшихся углов остается 17640°-480° = 17160°, что соответствует условию, так как 17160:96=178,75°.