Із точки, віддаленої від площини на відстані 10 см, проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути в 60°, а між собою кут в 30°. Знайдіть відстань між кінцями похилих.

ответ: АС=6√10см

Объяснение: Обозначим расстояние от точки до плоскости ВО, наклонные АВ и ВС. Рассмотрим ∆АВО и ∆ВСО. Они прямоугольные где АО, ВО, СО - катеты, а АВ и ВС- гипотенузы. Также в них ВО - общий катет, и угол А=углу С=60°. Эти треугольники равны по катету и острому углу, поэтому АО=ОС и АВ=ВС. Соответственно ∆АВС- равнобедренный, где АО=СО. Рассмотрим ∆АВО, он прямоугольный. В нём угол АОВ=90°, угол А=60°. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90°, поэтому угол АВО=углу СВО=90-60=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому катет АО=СО=½×АВ. Пусть АО=х, тогда АВ=2х. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

АВ²-АО²=ВО²

(2х)²-х²=10²

4х²-х²=100

3х²=100

х²=100/3

х=√(100/3)

х=10/√3

Итак: АО=СО=10/√3см, тогда

АВ=ВС=10√3×2=20√3см

Так как угол В между наклонными составляет 30°, найдём АС, по теореме косинусов:

АС²=АB²+BC²-2×AB×BC×cosB=

=(20√3)²+(20√3)²-2×(20√3²)×cos30°=

=400×3+400×3-2×400×3×√3/2=

=1200+1200-1200√3=2400-1200×1,7=

=2400-2040=360

АС=√360=6√10см

Чертим пирамиду, диагонали основания (АС) и (ВD), высоту пирамиды SO. О - точка пересечения (АС) и (ВD) и центр квадрата АВСD. Треугольник АSC равен треугольнику АВС по трем сторонам. Значит треугольник ASC прямоугольный равнобедренный. АС=sqrt(2), AO=OC=OS=sqrt(2)/2.
Все боковые грани пирамиды равносторонние треугольники со стороной 1. Апофемы пирамиды равны высотам этих треугольников и равны sqrt(3)/2. Проведем сечение через вершину пирамиды S и середины ребер AD (точка М) и ВС (точка N). Угол между АВ и плоскостью треугольника SAD равен углу между АВ и SM, значит равен углу между SM и NM или углу SMO.
Из треугольника SOM получаем: cos(SMO)=(1/2)/sqrt(3)/2=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3.

ΔАВС - равнобедренный ⇒ ∠С = 20° , ∠А = ∠В = 80°Отложим отрезок ВК, равный основанию АВ, как показано на рисунке: АВ = ВК ⇒ ∠КАВ = ∠АКВ = 80° , ∠АВК = 20°∠ВКЕ = 180° - ∠АКВ = 180° - 80° = 100° , ∠КВЕ = ∠АВЕ - ∠АВК = 60° - 20° = 40° В ΔВКЕ: ∠ВЕК = 180° - (∠ВКЕ + ∠КВЕ) = 180° - (100° + 40°) = 40° ⇒ ΔВКЕ - равнобедренный , ВК = КЕВ ΔАВD: ∠ADB = 180° - (∠BAD + ∠ABD) = 180° - (50° + 80°) = 50° ⇒ ΔABD - равнобедренный, AB = BDВ ΔBKD: BK = BD , ∠KBD = 60° ⇒ ΔBKD - равностороннийПолучаем, AB = BK = BD = KD = KEKE = KD ⇒ ΔKED - равнобедренный , ∠ЕКD = 100° - 60° = 40° , ∠KED = ∠KDE = 70° ⇒ ∠CDE = 70° - 20° = 50°ОТВЕТ: 50