Найдите площадь полной поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит ромб со стороной 6 и острым углом 60 градусов . Известно, что диагональ параллелепипеда BD1 в 2 раза больше диагонали ромба BD.

Скольку луч с проходит между сторонами угла (ab), по свойству измерения углов получаем: ∠(ac) + ∠(bc) = ∠(ab). 1) ∠(ab) = ∠(bc) + ∠(bc) + 30°, 60° = 2 ⋅ ∠(bc) + 30°; 2 ⋅ ∠(bc) = 30°; ∠(ac) = 45°, ∠(bc) = 15°. 2) ∠(ab) = 2 ⋅ ∠(bc) + ∠(bc), 60° = 3 ⋅ ∠(bc), ∠(ac) = 40°, ∠(bc) = 20°. 3) ∠(ac) = ∠(bc) = ∠(ab) : 2 = 60° : 2 = 30°. 4) ∠(ac) = 2x, ∠(bc) = 3x, ∠(ab) = 60°, 2x + 3x = 60°, 5x = 60°, x = 12°. ∠(ac) = 24°, ∠(bc) = 36°. ответ: 1) ∠(ac) = 45°, ∠(bc) = 15°; 2) ∠(ac) = 40°, ∠(bc) = 20°; 3)∠(ac) = 30°, ∠(bc) = 60°; 4)∠(ac) = 24°, ∠(bc) = 36°.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения.
В нашем случае искомый угол - это угол между высотой СН треугольника (плоскости) АВС и высотой DH треугольника (плоскости) DAB.
Поместим начало координат в точку D(0;0;0). Тогда имеем точки:
А(0;а;0), В(0;0;а), С(а;0;0).
Найдем координаты точки Н, как середины отрезка АВ:
Н(0;а/2;а/2).
Тогда вектор DH{0;а/2;а/2}, его модуль |DH|=√(2a²/4)=a√2/2,
вектор СН{-a;a/2;a/2}, его модуль |HC|=√(6a²/4)=a√6/2.
Cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(|DH|*|HC|) или
Cosα=(0+а²/4+а²/4)/(а²√12/4)=(2а²*4)/(4*а²√12)=2/√12=√3/3.
ответ: Искомый угол равен α=arccos√3/3 или α≈54,74°.