РАЗОБРАТЬСЯ Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O — центр вписанной окружности, Ob — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A, C, O и Ob лежат на окружности с центром M.​

Центр вписанной окружности (O) - пересечение биссектрис внутренних углов.

Центр вневписанной окружности (Ob) - пересечение биссектрис внешних углов.  

Поскольку центр Ob лежит на биссектрисах внешних углов A и С, он равноудален от прямых AB, AC, BC, следовательно лежит на биссектрисе угла B.  

Биссектрисы внешнего и внутреннего углов перпендикулярны (сумма смежных углов 180, сумма их половин 90).  

В четырехугольнике AOCOb противоположные углы прямые (сумма 180), следовательно он вписанный, OOb - диаметр.  

Пусть M - середина OOb, центр описанной окружности AOCOb.

AMC =∪AO+∪CO =2ACO +2CAO =A+C

В четырехугольнике ABCM внешний угол равен внутреннему при противолежащей вершине, следовательно четырехугольник вписанный.

То есть M лежит на описанной окружности ABC.

плиткой 5×5 покрыть можно,т.к получается целое число

8•10=80 плиток потребуется

плиткой 7×8 покрыть нельзя,т.к ни одной стороной не подходит

Дано: ΔABE - равнобедренный, АВ=ВЕ= 17 см, АЕ= 16 см, АЕВ∈α, CB⟂α, C∉α, СВ= 8 см.

Найти: расстояние от точки C до стороны треугольника AE

Решение.

1) Проведём высоту ВН в равнобедренном треугольнике АВЕ => BH⟂AE

Так как BH⟂AE и по условию ВС⟂α, по теореме о трёх перпендикулярах следует, что наклонная СН⟂АЕ. Наклонная СН и есть расстоянием от точки С до стороны АЕ ΔABE.

2) В треугольнике ЕСВ (∠ЕВС=90°, т.к. СВ⟂α) по т.Пифагора находим гипотенузу ЕС:

ЕС²= ЕВ²+ВС²;

ЕС²= 17²+8²;

ЕС²= 289+64;

ЕС²= 353

3) Поскольку ΔABE - равнобедренный, а ВН - высота, проведённая к основанию АС, то ВН также является и медианой ΔАВЕ => АН=НЕ= ½АЕ= 16 : 2 = 8 см.

4) В ΔCHE (∠CHE=90°) по т.Пифагора находим СН:

СН²= ЕС² – НЕ²;

СН²= 353–8²;

СН²= 353–64;

СН²= 289;

СН= 17 см (–17 быть не может)

Расстояние от точки C до стороны треугольника AE равно 17 см.

ответ: 17 см.