угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120 °, а высота, проведенная к боковой стороне - а см. найдите основание треугольника.​

2а/√3

Объяснение:

а- высота

c- основание треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Сумма углов в треугольнике равна 180°

(180°-120°)/2=30° угол при основании.

Высота проведенная к боковой стороне является катетом образовавшегося треугольника. Найдем сторону основания, т.е. гипотенузу

cos30°=a/c;

cos30°=√3/2

√3/2=a/c

c=2a/√3 сторона основания треугольника

Пусть Н - середина стороны ВС.

АН⊥ВС как медиана и высота правильного треугольника АВС,

SH⊥ВС как медиана и высота равнобедренного треугольника SBC.

∠SHA = 45° - линейный угол двугранного угла между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.

ΔSOH: ∠SOH = 90°, ∠SHO = 45°, значит это равнобедренный прямоугольный треугольник, тогда

ОН = SH = 4 м,    SH = 4√2 м

ОН - радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

ОН = АВ√3/2

АВ = 2 · ОН / √3 = 2 · 4 / √3 = 8√3/3 м

Sбок = 1/2 Pосн · SH

Sбок = 1/2 · 3 · 8√3/3 · 4√2 = 16√6 м²

Советую сразу это нарисовать, чтобы понимать, о чем идет речь. 
угол САВ=90-угол СВА 
угол САВ=90-40=50 
угол САЕ=угол САВ-угол ЕАД 
угол САЕ=50-5=45 
Рассмотрим прямоугольный треугольник АСЕ 
угол СЕА=90-угол САЕ 
угол СЕА=90-45=45=угол САЕ 
Тогда АС=СЕ 
Пусть точка О - точка пересечения АЕ и СД. 
Тогда рассмотрим треугольник СОЕ. Угол Е в нем - 45 градусов, угол С=10(из условия), тогда угол О - 180-10-45=125 градусов. 
Угол АОД=СОЕ=125 градусов(как вертикальные углы) 
Рассмотрим треугольник АОД. Угол О=125, угол А=5(из условия), угол Д отсюда равен 180-125-5=50 
Рассмотрим треугольник АСД. Угол Д=50 градусов, угол А=50 градусов(из условия) Тогда угол А=угол Д. Поэтом СД=АС. Но АС=ЕС отсюда СД=ЕС 
Рассмотрим треугольник СДЕ 
СД=ЕС, поэтому угол Д=угол Е= (180-угол С)/2=(180 - 10) / 2= 170/2=85 ..